Slight changes in quadratic_forms

pages/quadratic_forms/main.md

@@ -1,17 +1,17 @@
 ---
 header-includes: |
     \newcommand{\legendre}[2]{\begin{pmatrix} #1\cr \hdashline #2\cr \end{pmatrix}}
-    \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p}
+    \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p}
 ...
 
 
 # Квадратичные вычеты и корни по простому модулю
 
-На данный момент статья находится в разработке.
-
 В этой статье вы узнаете всё о квадратичных вычетах по простому модулю и разложении числа в сумму двух квадратов.
 
-Будем считать, что арифметические операции в $\Zp$ работают за константое время или что то же самое, мерять все в арифметических
+Будем обозначать множество остатков по модулю $p$ со сложением и умножением как $\Fp$.
+
+Будем считать, что арифметические операции в $\Fp$ работают за константое время или что то же самое, мерять все в арифметических
 операциях(сложение, умножение, вычитание).
 
 
@@ -19,13 +19,13 @@ header-includes: |
 
 Здесь и далее $p$ -- простое число. 
 
-**Определение**. $p \nmid a \leftarrow \Zp$ называется _квадратичным вычетом_ если существует такое $z$, что $z^2 \equiv a \pmod{p}$, а
+**Определение**. $a \in \Fp$ называется _квадратичным вычетом_ если существует такое $z$, что $z^2 \equiv a \pmod{p}$, а
 иначе _невычетом_.
 
 **Определение**. Символом Лежандра числа $a$ называется величина $\legendre{a}{p}$, равная единице, если $a$ является квадратичным
 вычетом по модулю $p$, нулю если $a \equiv 0$, и $-1$ иначе.
 
-**Лемма**. В $\Zp$ поровну квадратичных вычетов и невычетов, а именно $\frac{p - 1}{2}$.
+**Лемма**. В $\Fp$ поровну квадратичных вычетов и невычетов, а именно $\frac{p - 1}{2}$.
 
 **Доказательство**. Посмотрим на числа $1^2, 2^2, \ldots, (p - 1)^2$. Заметим, что $a^2 \equiv b^2$ равносильно тому что $p \mid (a - b)(a + b)$, то есть
 либо $a \equiv b$, либо $a \equiv -b$. А это значит, что среди первых $\frac{p - 1}{2}$ квадратов нет повторяющихся, а поскольку $a^2
@@ -52,7 +52,7 @@ $\frac{y}{x} = yx^{-1}$, а $x^{-1}$ обратный остаток к $x$.
 **Доказательство**. Заметим, что если $a \equiv x^2$, то $a^{\frac{p - 1}{2}} \equiv x^{p - 1} \equiv 1$ по малой теореме Ферма, то есть
 для вычетов утверждение верно.
 
-Можно было бы сказать, что многочлен $x^{\frac{p - 1}{2}} - 1$ имеет не более $\frac{p - 1}{2}$ корней, потому что $\Zp$ -- поле, но у
+Можно было бы сказать, что многочлен $x^{\frac{p - 1}{2}} - 1$ имеет не более $\frac{p - 1}{2}$ корней, потому что $\Fp$ -- поле, но у
 этого факта есть более элементарное доказательство.
 
 Проделаем тот же трюк, что и в доказательстве мультипликативности для двух невычетов. Тогда произведение всех чисел в парах с одной
@@ -143,8 +143,8 @@ ab - bx + ax - x^2 \equiv ab + bx - ax - x^2
 **Лемма**. Существует алгоритм, который для вычета $n$ ищет такой $z$, что $z^2 \equiv n \pmod{p}$ за ожидаемое время $O(\log p)$.
 
 **Доказательство**. Найдём такое $a$, что $a^2 - n$ является невычетом за ожидаемое время $O(\log p)$. Обозначим за $\omega = \sqrt{a^2 - n}$.
-Строго говоря, посмотрим на все многочлены в $\Zp$ от $\omega$. и посмотрим на них по модулю $\omega^2 - (a^2 - n)$. Получившееся
-множество $\{ a + bw \mid a, b \leftarrow \Zp \}$ будем обозначать $T = \Zp[w]/(w^2 - (a^2 - n))$.
+Строго говоря, посмотрим на все многочлены в $\Fp$ от $\omega$. и посмотрим на них по модулю $\omega^2 - (a^2 - n)$. Получившееся
+множество $\{ a + bw \mid a, b \leftarrow \Fp \}$ будем обозначать $T = \Fp[w]/(w^2 - (a^2 - n))$.
 
 Заметим, что числа из $T$ можно складывать и умножать: $$(a + bw) + (c + dw) = (a + c) + (b + d)w, (a + bw)(c + dw) = (ac + bd(a^2 - n)) +
 (ad + bc)w$$
@@ -191,7 +191,7 @@ ab - bx + ax - x^2 \equiv ab + bx - ax - x^2
 
 **Лемма**. Любое простое $p$ вида $4k + 1$ представляется в виде суммы двух квадратов.
 
-Попробуем конструктивно научиться искать разложение для $p = 4k + 1$. Для начала поймем как "перемножать" квадратичные формы,
+Попробуем конструктивно научиться искать разложение для $p = 4k + 1$. Для начала поймем как "перемножать" такие разложения,
 это также поможет нам далее, когда мы перейдем в составному $n$.
 
 Пусть $a^2 + b^2 = x, c^2 + d^2 = y$. Тогда
@@ -208,6 +208,9 @@ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = xy
 (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = xy
 \end{equation*}
 
+То же самое можно увидеть, если рассмотреть $z = a + bi, w = c + di$, тогда
+$\conj{z}w = (ac + bd) + (ad - bc)i$, а $xy = |z|^2|w|^2 = |\conj{z}|^2|w|^2 = |\conj{z}w|^2|$.
+
 То есть мы доказали, что если $x, y$ представимы в виде суммы двух квадратов, то $xy$ тоже представимо в виде суммы двух квадратов.
 
 Попробуем представить число $p$, пользуясь предыдущим знанием. Пусть для начала у нас есть разбиение числа $mp$ для какого-то $m$, то
@@ -252,3 +255,4 @@ $a \equiv b \pmod{m}$.
 a, b$. Тода $p^2 \mid a^2 + b^2$ и $\left( \frac{a}{p} \right)^2 + \left( \frac{b}{p} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{p^2}$. Применяя то же
 самое рассуждение получаем требуемое.
 
+Тем самым мы доказали рождественскую теорему Ферма и научились раскладывать числа в суммы двух квадратов.