From 3bff372afe89019267b9f7aabc6121798843845f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: thematdev Date: Thu, 21 Sep 2023 19:39:16 +0300 Subject: [PATCH] Slight changes in quadratic_forms --- pages/quadratic_forms/main.md | 24 ++++++++++++++---------- 1 file changed, 14 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/pages/quadratic_forms/main.md b/pages/quadratic_forms/main.md index f0628db..e184da2 100644 --- a/pages/quadratic_forms/main.md +++ b/pages/quadratic_forms/main.md @@ -1,17 +1,17 @@ --- header-includes: | \newcommand{\legendre}[2]{\begin{pmatrix} #1\cr \hdashline #2\cr \end{pmatrix}} - \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} + \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} ... # Квадратичные вычеты и корни по простому модулю -На данный момент статья находится в разработке. - В этой статье вы узнаете всё о квадратичных вычетах по простому модулю и разложении числа в сумму двух квадратов. -Будем считать, что арифметические операции в $\Zp$ работают за константое время или что то же самое, мерять все в арифметических +Будем обозначать множество остатков по модулю $p$ со сложением и умножением как $\Fp$. + +Будем считать, что арифметические операции в $\Fp$ работают за константое время или что то же самое, мерять все в арифметических операциях(сложение, умножение, вычитание). @@ -19,13 +19,13 @@ header-includes: | Здесь и далее $p$ -- простое число. -**Определение**. $p \nmid a \leftarrow \Zp$ называется _квадратичным вычетом_ если существует такое $z$, что $z^2 \equiv a \pmod{p}$, а +**Определение**. $a \in \Fp$ называется _квадратичным вычетом_ если существует такое $z$, что $z^2 \equiv a \pmod{p}$, а иначе _невычетом_. **Определение**. Символом Лежандра числа $a$ называется величина $\legendre{a}{p}$, равная единице, если $a$ является квадратичным вычетом по модулю $p$, нулю если $a \equiv 0$, и $-1$ иначе. -**Лемма**. В $\Zp$ поровну квадратичных вычетов и невычетов, а именно $\frac{p - 1}{2}$. +**Лемма**. В $\Fp$ поровну квадратичных вычетов и невычетов, а именно $\frac{p - 1}{2}$. **Доказательство**. Посмотрим на числа $1^2, 2^2, \ldots, (p - 1)^2$. Заметим, что $a^2 \equiv b^2$ равносильно тому что $p \mid (a - b)(a + b)$, то есть либо $a \equiv b$, либо $a \equiv -b$. А это значит, что среди первых $\frac{p - 1}{2}$ квадратов нет повторяющихся, а поскольку $a^2 @@ -52,7 +52,7 @@ $\frac{y}{x} = yx^{-1}$, а $x^{-1}$ обратный остаток к $x$. **Доказательство**. Заметим, что если $a \equiv x^2$, то $a^{\frac{p - 1}{2}} \equiv x^{p - 1} \equiv 1$ по малой теореме Ферма, то есть для вычетов утверждение верно. -Можно было бы сказать, что многочлен $x^{\frac{p - 1}{2}} - 1$ имеет не более $\frac{p - 1}{2}$ корней, потому что $\Zp$ -- поле, но у +Можно было бы сказать, что многочлен $x^{\frac{p - 1}{2}} - 1$ имеет не более $\frac{p - 1}{2}$ корней, потому что $\Fp$ -- поле, но у этого факта есть более элементарное доказательство. Проделаем тот же трюк, что и в доказательстве мультипликативности для двух невычетов. Тогда произведение всех чисел в парах с одной @@ -143,8 +143,8 @@ ab - bx + ax - x^2 \equiv ab + bx - ax - x^2 **Лемма**. Существует алгоритм, который для вычета $n$ ищет такой $z$, что $z^2 \equiv n \pmod{p}$ за ожидаемое время $O(\log p)$. **Доказательство**. Найдём такое $a$, что $a^2 - n$ является невычетом за ожидаемое время $O(\log p)$. Обозначим за $\omega = \sqrt{a^2 - n}$. -Строго говоря, посмотрим на все многочлены в $\Zp$ от $\omega$. и посмотрим на них по модулю $\omega^2 - (a^2 - n)$. Получившееся -множество $\{ a + bw \mid a, b \leftarrow \Zp \}$ будем обозначать $T = \Zp[w]/(w^2 - (a^2 - n))$. +Строго говоря, посмотрим на все многочлены в $\Fp$ от $\omega$. и посмотрим на них по модулю $\omega^2 - (a^2 - n)$. Получившееся +множество $\{ a + bw \mid a, b \leftarrow \Fp \}$ будем обозначать $T = \Fp[w]/(w^2 - (a^2 - n))$. Заметим, что числа из $T$ можно складывать и умножать: $$(a + bw) + (c + dw) = (a + c) + (b + d)w, (a + bw)(c + dw) = (ac + bd(a^2 - n)) + (ad + bc)w$$ @@ -191,7 +191,7 @@ ab - bx + ax - x^2 \equiv ab + bx - ax - x^2 **Лемма**. Любое простое $p$ вида $4k + 1$ представляется в виде суммы двух квадратов. -Попробуем конструктивно научиться искать разложение для $p = 4k + 1$. Для начала поймем как "перемножать" квадратичные формы, +Попробуем конструктивно научиться искать разложение для $p = 4k + 1$. Для начала поймем как "перемножать" такие разложения, это также поможет нам далее, когда мы перейдем в составному $n$. Пусть $a^2 + b^2 = x, c^2 + d^2 = y$. Тогда @@ -208,6 +208,9 @@ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = xy (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = xy \end{equation*} +То же самое можно увидеть, если рассмотреть $z = a + bi, w = c + di$, тогда +$\conj{z}w = (ac + bd) + (ad - bc)i$, а $xy = |z|^2|w|^2 = |\conj{z}|^2|w|^2 = |\conj{z}w|^2|$. + То есть мы доказали, что если $x, y$ представимы в виде суммы двух квадратов, то $xy$ тоже представимо в виде суммы двух квадратов. Попробуем представить число $p$, пользуясь предыдущим знанием. Пусть для начала у нас есть разбиение числа $mp$ для какого-то $m$, то @@ -252,3 +255,4 @@ $a \equiv b \pmod{m}$. a, b$. Тода $p^2 \mid a^2 + b^2$ и $\left( \frac{a}{p} \right)^2 + \left( \frac{b}{p} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{p^2}$. Применяя то же самое рассуждение получаем требуемое. +Тем самым мы доказали рождественскую теорему Ферма и научились раскладывать числа в суммы двух квадратов.