From 63631dc054cdf5e329fedaef709941741b8fcecc Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: thematdev Date: Sun, 15 Aug 2021 15:18:57 +0300 Subject: [PATCH] First commit --- as_is.tex | 636 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ main.tex | 656 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 1292 insertions(+) create mode 100644 as_is.tex create mode 100644 main.tex diff --git a/as_is.tex b/as_is.tex new file mode 100644 index 0000000..b27ee8b --- /dev/null +++ b/as_is.tex @@ -0,0 +1,636 @@ +\documentclass[a4paper, 12pt]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[russian]{babel} +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb, amsthm, asymptote} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{keyval} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{latexsym} +\usepackage{blindtext} +\usepackage{fancyhdr} +\usepackage[hidelinks]{hyperref} +\usepackage{xcolor} +\usepackage{import} + +\graphicspath{ {./images/} } + +\theoremstyle{definition} + +\newtheorem{innercustomgeneric}{\customgenericname} +\providecommand{\customgenericname}{} +\newcommand{\newcustomtheorem}[2]{% + \newenvironment{#1}[1] + {% + \renewcommand\customgenericname{#2}% + \renewcommand\theinnercustomgeneric{##1}% + \innercustomgeneric + } + {\endinnercustomgeneric} +} + + +\newcounter{mylabelcounter} + +\makeatletter +\newcommand{\labelText}[2]{% +#1\refstepcounter{mylabelcounter}% +\immediate\write\@auxout{% + \string\newlabel{#2}{{1}{\thepage}{{\unexpanded{#1}}}{mylabelcounter.\number\value{mylabelcounter}}{}}% +}% +} +\makeatother + +\newcustomtheorem{cproblem}{Задача} +\newcustomtheorem{cclemma}{Лемма} +\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] +\newtheorem{theorem}[lemma]{Теорема} +\newtheorem*{cproof}{Доказательство} +\newtheorem{problem}{Задача} +\newtheorem*{definition}{Определение} + +\makeatletter +\mathchardef\realless=\mathcode`< +\newcommand{\perhapsless}{\@ifnextchar={\leqslant\@gobble}{\realless}} +\mathcode`<="8000 +{\catcode`<=\active \global\let<\perhapsless} + +\mathchardef\realgreater=\mathcode`> +\newcommand{\perhapsgreater}{\@ifnextchar={\geqslant\@gobble}{\realgreater}} +\mathcode`>="8000 +{\catcode`>=\active \global\let>\perhapsgreater} + +\makeatother + +\pagestyle{fancy} + +% \hypersetup{ +% colorlinks=false, +% linkbordercolor=blue, +% pdfborderstyle={/S/U/W 1}, % border style underline 1pt +% } +%\pagenumbering{gobble} + +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\fancyhead[LE,LO]{Никифор Кузнецов~\\\hrulefill\\Василий Сильвестров} +\fancyhead[CE,CO]{~\\\hrulefill\\~} +\fancyhead[RE,RO]{ЛКТГ-2021 \\\hrulefill\\Дистанционные графы и теорема Турана} + +\setlength{\headheight}{24.4pt} + +\newenvironment{solution}[1]{\begin{proof}[#1.]\parskip=0pt}{\end{proof}} + +\newenvironment{lbsolution}[1][\proofname]{% + \begin{proof}[#1]$ $\par\nobreak\ignorespaces +}{% + \end{proof} +} +%\fancyheadoffset[CE,CO]{2cm} + +\newenvironment{answer}{\par\emph{Ответ:}}{\par} + +\newcommand{\explanation}[1]{\scriptsize \hfill #1} +\newcommand{\blackqed}{\rule{0.7em}{0.7em}} + +\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} + +\title{Дистанционные графы и теорема Турана} +\author{Никифор Кузнецов, Василий Сильвестров} +\date{2 августа -- 11 августа} + +\begin{document} +\maketitle +Титульный лист +\newpage +\section{Базовые определения} +\section{Задачи до промежуточного финиша} +\begin{problem} + Докажите, что $\chi(G) >= \omega(G)$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Рассмотрим вершины максимальной клики. Они все должны быть раскрашены в разные цвета, поскольку все они инцидентны друг другу. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что $\chi(G) >= \dfrac{|V|}{\alpha(G)}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Рассмотрим множество вершин одного цвета. Оно будет являться независимым множеством. По принципу Дирихле найдется множество вершин одного цвета, состоящее из хотя бы $\frac{|V|}{\chi(G)}$ элементов. По определению $\alpha$, $\alpha(G) >= \frac{|V|}{\chi(G)}$, что равносильно $\chi(G) >= \frac{|V|}{\alpha(G)}$. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$, где $\Delta(G)$ -- максимальная степень вершины в $G$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Сделаем индукцию по количеству вершин $V$. + + \textit{База.} Для $V = 0,1$ утверждение очевидно. + + \textit{Переход.} Удалим произвольную вершину из $G$. Для оставшегося графа верно утверждение. Рассмотрим его произвольную правильную раскраску в $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$ цветов и пронумеруем цвета от 0 до $\chi(G)$. Вернём нашу вершину. Покрасим её в MEX\footnote{MEX -- minimal excluded, минимальное целое неотрицательное число, не встречающееся в множестве.} множества цветов её соседей. Так как соседей не более, чем $\Delta(G)$, MEX также не превосходит $\Delta(G)$, значит наша получившаяся раскраска является правильной раскраской в не более, чем $\Delta(G) + 1$ цвет. +\end{solution} + +\begin{problem} + Пусть $G = (V, E)$, $|V| = n$. Докажите, что если в графе $\omega(G) < 3$, то число рёбер в $G$ не больше, чем $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$. Докажите также, что эта оценка неулучшаема. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Докажем утверждение индукцией по $n$. + + \textit{База.} Для $n = 0,1$ очевидно. + + \textit{Переход.} Рассмотрим произвольное ребро(если его нет, то оценка точно выполнена). Удалим две вершины инцидентные ему. Заметим, что из каждой оставшейся вершины в удаленные ведёт не более одного ребра, так как иначе они бы образовывали треугольник. Значит мы удалили не более, чем $n - 1$ ребро. В оставшемся графе $\omega$ не увеличилась, значит для него верно предположение индукции, и в нём не более $\lfloor \frac{n - 2}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n - 2}{2} \rceil = \left(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1 \right) \cdot \left( \lceil \frac{n}{2} \rceil - 1 \right) = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil - (n - 1)$ рёбер, значит в нашем графе не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, что и требовалось. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что утверждение задачи 4 равносильно следующему: пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$; если $\alpha(G) < 3$, то число рёбер в $G$ меньше, чем $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Рассмотрим дополнение графа $G$ -- $\overline{G}$. Для него выполнено условие предыдующей задачи, а значит в нем не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, а значит в нашем графе не менее $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер. +\end{solution} + +\begin{problem}[Теорема Турана] + Пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$. Докажите, что если $\alpha(G) <= k$, то число рёбер в $G$ не меньше, чем\ + \begin{equation*} + n \cdot \left[ \dfrac{n}{k} \right] - k \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{n}{k} \right] \left( \left[ \dfrac{n}{k} \right] + 1 \right)}{2} + \end{equation*} +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Для начала докажем, что эта оценка неулучшаема, откуда будет следовать, что для одинаковых $n$ данное выражение монотонно невозрастает по $k$. + + Пусть $n = kx + r$, где $x = \left[ \frac{n}{k}\right]$. Рассмотрим граф, состоящий из $k$ непересекающихся клик, где $r$ клик содержат $x + 1$ вершину, а $k - r$ содержат $x$ вершин. Посчитаем количество рёбер в нём + \begin{eqnarray*} + E = r \frac{(x + 1)x}{2} + (k - r) \frac{x(x - 1)}{2} = xr + \frac{kx(x - 1)}{2} = + \\ = nx - kx^2 + \frac{kx(x - 1)}{2} = nx - \frac{kx(x + 1)}{2} + \end{eqnarray*} + что и требовалось. + + Докажем утверждение задачи индукцией по $n$. Так как мы доказали монотонность оценки, без ограничения общности можно считать, что число независимости в точности равно $k$. + + \textit{База.} Для $n < k$ утверждение очевидно. + + \textit{Переход.} Удалим независимое множество размера $k$. Каждой вершине, не принадлежащей ему было инцидентно ребро, ведущее в него, значит мы удалили хотя бы $n - k$ рёбер. Прибавим к этому оценку для $n - k$ вершин и получим новую оценку. + + \begin{center} + \begin{equation*} + (n - k) + (n - k) \cdot (x - 1) + k \cdot \dfrac{(x - 1)x}{2} = (n - k)x + k \cdot \dfrac{x(x + 1)}{2} + \end{equation*} + \explanation{Положим $n = kx + r$, $0 <= r < k$. Тогда выполнено $\left[ \frac{n - k}{k} \right] = x - 1$} + \end{center} + Она в точности равна, тому чему требуется. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в дистанционном графе нет подграфа $K_4$. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Положим противное. Рассмотрим подграф $K_3$, равносторонний треугольник. Из предположения существует вершина, соединенная со всеми тремя. + + Значит она является центром описанной окружности треугольника. Легко проверить, что радиус описанной окружности равностороннего треугольника не равен его стороне. Противоречие. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в дистанционном графе нет подграфа $K_{2, 3}$. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Вершина, соединенная с тремя является центром описанной окружности, а он ровно один, значит подграфа $K_{2, 3}$ нет. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в дистанционном графе нет подграфа $W = $ + + \begin{asy} + unitsize(1cm); + import geometry; + + real SQRT_3 = 0.8660254; + + point pA = (0, 0); + point pB = (1, 0); + point pC = (2, 0); + point pD = (0.5, SQRT_3); + point pE = (1.5, SQRT_3); + point pF = (1, -0.6); + + dot("$A$", pA, SW); + dot("$B$", pB, S); + dot("$C$", pC, S); + dot("$D$", pD, N); + dot("$E$", pE, N); + dot("$F$", pF, S); + + draw(pA -- pB); + draw(pB -- pC); + draw(pA -- pD); + draw(pD -- pB); + draw(pB -- pE); + draw(pD -- pE); + draw(pE -- pC); + draw(pA -- pF); + draw(pC -- pF); +\end{asy} +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Заметим, что точки $A, B, C, D, E$ расположены именно так как выше, поскольку $ABD, BCE$ -- равносторонние треугольники, и есть ребро $DE$. Тогда длина отрезка $AC$ равна двум. А значит, тогда равноудаленная от его концов имеет расстояние до них хотя бы 1, причем равенство достигается только в точке $B$. +\end{solution} + + +\begin{definition} + Рассмотрим следующую конструкцию. Есть единичная сетка, и на ней отмечен квадрат с $n$ вершинами на стороне и все узлы сетки внутри него. Также от каждого единичного отрезка сетки внутри квадрата в обе стороны отложен равносторонний треугольник. Назовём такой граф $G_{\text{sk}}(n)$. +\end{definition} + +\newpage + +\begin{figure}[!ht] + \begin{center} + \begin{asy} + import geometry; + + unitsize(1cm); + real SQRT_3 = 0.8660254; + //real SQRT_3 = 0.7; + int n = 3; + + point midpoint(point pA, point pB) { + return (pA + pB) / 2; + } + + point swap_coords(point p) { + return (p.y, p.x); + } + + point regular_triangle(point pA, point pB) { + return swap_coords(pB - pA) * SQRT_3 + midpoint(pA, pB); + } + + void draw_g_sk_without_internal(int n) { + for (int i = 0; i < n; ++i) { + for (int j = 0; j < n; ++j) { + dot((i, j), blue); + } + } + + for (int i = 0; i < n - 1; ++i) { + for (int j = 0; j < n; ++j) { + point pA = (i, j), pB = (i + 1, j); + draw(pA -- pB, blue); + point pC = regular_triangle(pA, pB), pD = regular_triangle(pB, pA); + dot(pC); + dot(pD); + draw(pA -- pC); draw(pB -- pC); draw(pA -- pD); draw(pB -- pD); + } + } + for (int i = 0; i < n; ++i) { + for (int j = 0; j < n - 1; ++j) { + point pA = (i, j), pB = (i, j + 1); + draw(pA -- pB, blue); + point pC = regular_triangle(pA, pB), pD = regular_triangle(pB, pA); + dot(pC); + dot(pD); + draw(pA -- pC); draw(pB -- pC); draw(pA -- pD); draw(pB -- pD); + } + } + } + + draw_g_sk_without_internal(n); + + \end{asy} +\end{center} +\caption{$G_{\text{sk}}(3)$ без ребер между вершинами равносторонних треугольников, построенных в одну и ту же сторону внутри соседних квадратов} +\end{figure} + +\begin{lemma} + В $G_{\text{sk}}(n)$ ровно $5n^2 - 4n$ вершин и $18n^2 - 26n + 4$ рёбер +\end{lemma} + +\begin{problem} + Приведите пример непланарного графа, являющегося дистанционным и планарного графа, не являющегося дистанционным. +\end{problem} + +\begin{solution}{Решение} + Рассмотрим $G_{\text{sk}}(4)$. По лемме 2.1 у него 64 вершины и 188 рёбер, что противоречит неравенству $E <= 3V - 6$, которое выполнено для всех планарных графов. + + Рассмотрим $K_4$. Он не дистанционный, но планарный. +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть в графе $G = (V, E)$ на плоскости $4n$ вершин, а $\alpha(G) <= n$. Докажите, что когда граф $G$ дистанционный имеет место более сильная оценка $|E| >= 7n$. Воспользуйтесь результатом задачи 7. +\end{problem} + +\begin{lemma} + При удалении вершины и всех её соседей число независимости строго уменьшается. +\end{lemma} +\begin{solution}{Доказательство} + В исходном графе любое максимальное независимое множество содержало либо вершину либо хотя бы одного соседа, значит после удаления, все максимальные независимые множества потеряют хотя бы одну вершину. +\end{solution} +\begin{solution}{Решение} + Будем действовать по индукции. + + \textit{База.} Для $n = 1$ очевидно. + + \textit{Переход.} Попробуем удалить четыре вершины, уменьшив размер максимального независимого множества, удалив не менее 7 рёбер. Обозначим за $d$ минимальную степень вершины. Если $d >= 4$, то в $G$ суммарно хотя бы $8n$ рёбер. Если $d <= 2$, то удалив вершину и ее соседей, по теореме Брукса в оставшемся графе $\Delta(G) >= \chi(G) >= \frac{4n - d - 1}{n - 1} > 4$, откуда в графе останется вершина степени хотя бы 5. Удалим её тоже. При $d = 2$ мы удалим хотя бы 8 рёбер. В случае $d = 1$ мы можем удалить ещё одну вершину, и тогда мы удалим хотя бы 7 рёбер, в случае $d = 0$ можно найти ещё две неизолированные вершины, которым инцидентно хотя бы два ребра, и удалить их. + + Осталось разобрать случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени три. У неё найдется два соседа $u, w$ не соединенные ребром, в силу отсутствия $K_4$. Тогда им инцидентно хотя бы четыре ребра, не инцидентные $v$. Тогда удалив $v$ и всех соседей, мы удалим хотя бы 7 рёбер, что и требовалось. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что если у графа $G = (V, E)$ (не обязательно дистанционного) $4n$ вершин, $\alpha(G) <= n$, $\omega(G) <= 3$ и \textit{минимальная} степень вершины не превосходит трёх, то из графа можно удалить не более четырёх вершин, чтобы уменьшить число независимости и избавиться хотя бы от восьми рёбер. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Аккуратно рассмотрим переход из решения прошлой задачи. Осталось рассмотреть случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени $d$. + + Пусть среди соседей $v$ отсутствует хотя бы два ребра между ними. Тогда суммарно им инцидентно хотя бы 8 рёбер, поэтому по лемме 2.2 мы можем удалить её с соседями, уменьшив число независимости. + + + Иначе, между соседями нет ровно одного ребра в силу отсутствия $K_4$. Пусть суммарно им инцидентно менее 8 рёбер. Обозначим его концы $u$ и $w$, а оставшегося соседа $t$. Заметим, что из $t$ нет рёбер во вне по предположению. Рассмотрим единственную(поскольку $d = 3$) вершину $x$ не из уже отмеченных, инцидентных $u$. + \begin{center} + + \begin{asy} + import geometry; + + unitsize(0.5cm); + + point pV = (3, 4); + point pU = (1, 2); + point pW = (2.7, 0); + point pT = (4, 2); + + point pX = (1, 0); + + dot("$v$", pV, N); + dot("$u$", pU, W); + dot("$w$", pW, S); + dot("$t$", pT, E); + + dot("$x$", pX, S); + //dot("$y$", pY); + + draw(pV -- pU); draw(pV -- pW); draw(pV -- pT); + draw(pW -- pT); draw(pU -- pT); + draw(pU -- pW, dashed); + + draw(pU -- pX); + draw(pX -- pT, dashed); + //draw(pW -- pY); + draw(pX -- pV, dashed); + //draw(pY -- pV, dashed); + \end{asy} + \end{center} + + Тогда рассмотрим вершину $u$ и ее соседей. Рёбер $x \rightarrow v, x \rightarrow t$ нет в графе, значит рассмотрев вершину $u$ вместо вершины $v$ можно свести всё к предыдущему случаю. +\end{solution} +\begin{problem} + С помощью индукции выведите из задачи 12 оценку $|E| >= 8n$ в условиях задачи 11. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Пусть минимальная степень вершины хотя бы 4, тогда суммарно хотя бы $8n$ рёбер, значит можно считать, что на каждом шаге индукции она не больше трёх. + + \textit{База.} Для $n = 0, 1, 2$ очевидно. + + \textit{Переход}. Применим задачу 12, сведя всё к случаю для $n - 1$. Поскольку мы удалили хотя бы 8 рёбер, сложив оценки, получим требуемое. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что для графов на $4n$ вершинах, где $\alpha(G) <= n, \omega(G) <= 3$ оценка $|E| >= 8n$ неулучшаема. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Рассмотрим следующий граф на 8 вершинах. + \begin{figure*}[!ht] + \begin{center} + \begin{asy} + import geometry; + + unitsize(1cm); + + point pA = (-1, 0); + point pB = (-1, 1); + point pC = (0, 2); + point pD = (1, 2); + point pE = (2, 1); + point pF = (2, 0); + point pG = (1, -1); + point pH = (0, -1); + + dot(pA); dot(pB); dot(pC); dot(pD); dot(pE); dot(pF); dot(pG); dot(pH); + + draw(pA -- pB -- pC -- pD -- pE -- pF -- pG -- pH -- pA); + + draw(pB -- pD); draw(pB -- pE); + draw(pA -- pE); draw(pA -- pF); + draw(pC -- pH); draw(pD -- pG); + draw(pF -- pH); draw(pC -- pG); + \end{asy} + \end{center} + \end{figure*} + + Заметим, что в нём 16 рёбер, и его число независимости равно двум. Рассмотрим $k$ копий такого графа. + + Получится граф на $4 \cdot 2k$ вершинах, с числом независимости $2k$ и $8 \cdot 2k$ ребрами, причем такой граф не содержит $K_4$. Значит наша оценка не улучшаема, что и требуется. +\end{solution} +\begin{problem} + С помощью результатов задач 7-9 докажите, что если у дистанционного графа на плоскости $4n$ вершин и $\alpha(G) <= n$, то $|E| >= \frac{26}{3}n$. +\end{problem} +\begin{problem} + Улучшите оценку задачи 15. +\end{problem} +\begin{definition} + Для каждого ребра назовем \textit{соединяющим} элементом общий элемент множеств, находящихся в вершинах. +\end{definition} +\begin{problem} + Найдите число рёбер в графе $G(n, 3, 1)$. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Разобьем все рёбра на группы по соединяющему элементу. Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $2! = 2$. Выберем соединяющий элемент ($C_n^1$ способами). Потом выберем по два оставшихся элемента для первого и второго множеств в соединённых вершинах ($C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2$ способами). Итого $\frac{1}{2} \cdot C_n^1 \cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 = 15 \cdot C_{n}^5$ рёбер. +\end{solution} +\begin{problem} + Найдите число треугольников в графе $G(n, 3, 1)$. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $3! = 6$. Рассмотрим все возможные варианты количества различных элементов среди соединяющих элементов рёбер в треугольнике. Если различных элементов $3$, то таких треугольников существует ровно $C_n^3 \cdot C_{n - 1}^1 \cdot C_{n - 2}^1 \cdot C_{n - 3}^1 \cdot C_{n - 4}^1 \cdot C_{n - 5}^1 = C_n^5 \cdot 5!$. Если различных элементов $2$, то такого случая не существует, т.к. тогда все три множества имеют общий элемент. Если всего различных элементов $1$, то таких треугольнико существует ровно $C_n^1 \cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 \cdot C_{n - 5}^2 = C_n^6 \cdot \frac{6!}{8}$. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что $\alpha(G(n, 3, 1)) = n, n - 1, n - 2$ в зависимости от остатка при делении на 4. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Рассмотрим граф $G^\prime$, в котором есть ребро между двумя множествами, если они пересекаются по 2 элементам. + + Посмотрим на независимое в множество $G$. Пусть в $G^\prime$ есть ребра $uv$ и $uw$. Тогда если вершины $u, v, w$ образуют независимое множество в $G$, то в $G^\prime$ есть ребро $vw$, так как множества $v, w$ пересекутся по хотя бы одному элементу. + + Значит если рассмотреть независимое множество $I \subset G$, то соответствующий ему подграф $I^\prime \subset G^\prime$, то в нём все компоненты связности будут кликами. Поскольку $I$ -- независимое множество, а ребер в $G^\prime$ между кликами нет, то любые два множества из разных клик не пересекаются, значит множества элементов клик не пересекаются. + + Посмотрим, сколько вершин может быть в клике в $G^\prime$, где всего $k$ элементов множества. Пусть есть ребра $uv, uw$, причём соответстующие множества пересекаются по одинаковой паре элементов. Тогда все вершины в клике пересекаются по этой паре элементов. + + Значит либо размер клики не превосходит 5, либо в ней не более $k - 2$ вершин, поскольку все множества пересекаются по одинаковым элементам. При $k = 4$ в ней может быть не более $k$ вершин(все $C^3_4$ вершин), при $k = 5$ не более $k - 1$ вершин. + + Размер независимого множества это сумма по всем кликам, причем из рассуждений выше, видно, что она не превосходит $n$. При $n = 4k, 4k + 1$, рассматриваем все трехэлементные подмножества множеств вида $\{4i + 1, 4i + 2, 4i + 3, 4i + 4\}$, получая $n$ или $n - 1$. При $n = 4k + 2, 4k + 3$ рассмотрим множества вида $\{1, 2, i\}$ и получим $n - 2$ элемента в независимом множестве. Из рассуждений выше данный ответ оптимален. +\end{solution} +\begin{problem} + Найдите $w(G(n, 3, 1))$. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Раскрасим ребра между вершинами в цвета соответстующие номеру совпадающего элемента. Пусть есть треугольник. Заметим, что если в нем есть два одноцветных ребра, то третье ребро будет такого же цвета. Значит в нашем графе все треугольники либо одноцветны либо разноцветны. + + В частности, данное условие означает, что если одна вершина в клике достижима из другой вершины по ребрам одного цвета, то между ними есть ребро этого цвета. Это значит, что все компоненты связности по одному цвету являются кликами этого цвета. + + Также если рассмотреть два ребра одного цвета в клике, то это означает, что вершины инцидентные им содержат соответствующий элемент, а значит соединены ребром этого цвета между собой. То есть в клике всего одна компонента связности по каждому цвету, которого есть хотя бы два ребра. + + Посмотрим как выглядит клика одного цвета $c$ размера $w$. Это множества вида $\{c, a_i, b_i\}$, причём все $a_i, b_i$ различны. Пусть есть вершина соединенная со всеми в данной клике. Тогда из неё идет $w$ рёбер разного цвета, значит $w <= 3$, так как из каждой вершины ведут ребра трех цветов. Значит максимальная клика либо состоит из клик размера не более 3, либо из одной клики. + + Во втором случае максимальная клика получается размера $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$, а во втором случае в ней не более $3n$ рёбер, значит размер максимальной клики равен $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$ начиная с некоторого $n$. + + Подробнее рассмотрим второй случай. Пусть есть треугольник. Тогда каждая вершина соединена со всеми его вершинами, а значит всего цветов ребер в такой клике не более 7. Тогда в ней не более 21 ребра, а значит её размер не превосходит 7. Пример такой клики: + $$\{\{1, 2, 3\} \{1, 4, 5\} \{1, 6, 7\} \{2, 4, 6\} \{2, 5, 7\} \{3, 4, 7\} \{3, 5, 6\} \}$$ + + Значит ответ такой + \begin{equation*} + \omega(G(n, 3, 1)) = \begin{cases} + 0 & n <= 4 \\ + 4 & n = 6 \\ + 7 & n \in [7, 13] \\ + \left[ \frac{n - 1}{2 }\right] & \text{otherwise} + \end{cases} + \end{equation*} + +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что если $n = 2^k$, то $\chi(G) = \frac{|V|}{\alpha(G)} = \frac{(n - 1)\cdot(n - 2)}{2}$ +\end{problem} +\begin{problem} + Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$ (Для каждого $n$ рассматривается своё $W_n$). Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. + Докажите, что обычная теорема Турана гарантирует тогда, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f$ - некоторая функция, + асимптотически равная величине $\frac{ |W_n|^2}{2\alpha(G(n, 3, 1))} \sim \frac{ |W_n|^2}{2n}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + По задаче 19: $k = \alpha(|W_n|) <= \alpha(G(n, 3, 1)) <= n$. + + Запишем теорему Турана для $W_n$. + \begin{eqnarray*} + r(W_n) >= |W_n| \cdot \left[ \frac{|W_n|}{k}\right] - k \cdot \frac{\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] \cdot \left(\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] + 1\right)}{2} \sim \\ + \sim |W_n| \cdot \frac{|W_n|}{n} - |W_n| \cdot \frac{\left(\frac{|W_n|}{n} + 1\right)}{2} \sim \frac{|W_n|^2}{n} - \frac{|W_n|^2}{2n} = \frac{|W_n|^2}{2n} + \end{eqnarray*} +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что граф $G(n, 3, 1)$ изоморфен следующему графу $H$ в $\mathbb{R}^n$. + \begin{equation*} + V = \{\textbf{x} = (x_1, \ldots , x_n): x_i \in \{0, 1\}, x_1 + \ldots + x_n = 3\}, E = \{\{\textbf{x}, \textbf{y}\}: (\textbf{x}, \textbf{y}) = 1\}. + \end{equation*} +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Проведем биекцию между двумя множествами графов, сохранив отношение инцидентности. Пронумеруем элементы множествах в вершинах $G(n, 3, 1)$ от $1$ до $n$. Каждой вершине $v$ из $G(n, 3, 1)$ сопоставим вектор $v^\prime$ в котором координаты с соответствующие номерам элементов из $v$ равны $1$, а остальные координаты равны $0$. Заметим, что $v^\prime \in H$. Теперь рассмотрим любую вершину $w$ инцидентную $v$. Заметим, что $w^\prime$ - вершина, сопоставленная $w$ в $H$ будет инцидентна $v^\prime$. И никакие другие вершины не будут инцидентны $v^\prime$. +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть $K_{l_1, \ldots, l_r}$ - полный $r$ - дольный граф с размерами долей $l_1, \ldots, l_r$. Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ не содержит в качестве подграфа граф $K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n}{2}\right] + 1$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Докажем утверждение по индукции. + + \textit{База.} Для $n = 2$, на плоскости не существует графа $K_{3, 3}$. + + \textit{Переход.} Пусть утверждение доказано для всех размерностей пространства, не превосходящих $n$. Докажем утвердение для $\mathbb{R}^{n + 1}$ от противного. Пусть в $\mathbb{R}^n$ существует полный граф $G = K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n + 1}{2}\right] + 1$. Рассмотрим первую долю $G$. Тогда все остальные вершины лежат в подпространстве проходящем через центр описанной окружности треугольника образованного тремя вершинами первой доли, и перпендикулярном плоскости, проходящей через 3 вершины этой доли. Это подпространство имеет размерность $n - 2$, значит для него выполняется предположение индукции, значит там не существует графа $K_{3, \ldots, 3}$ с количеством долей $\left[\frac{n - 2}{2}\right] + 1 = \left[\frac{n}{2}\right]$. Противоречие. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что если в условиях задачи 22 дополнительно потребовать выполнение условия $|W_n| = o(n^2)$, то оценка из задачи 22 (т.е. обычная турановская оценка) асимптотически неулучшаема. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Пусть в нашем подграфе есть $f(n)$ непересекающихся независимых множеств размера $n$. Тогда если $nf(n) = o(n^2)$ и $n = o(nf(n))$, то мы нашли искомый пример. + + Решим задачу для $n = 2^k$, где $f(n) = k - 2 \sim \log n$. Будем предъявлять каждое независимое множество, как разбиение $\{1, \ldots n\}$ на непересекающиеся четверки, вершины множества -- все трехэлементные подмножества четверок. + + Построим $i$-ое независимое множество. Разобъём $2^{i + 2}$ элементов на непересекающиеся четверки. Поскольку $2^{i + 2} \mid n = 2^k$, мы сможем разбить все $n$ элементов. Искомое разбиение $\{0, \ldots 2^{i + 2} - 1\}$ на четверки: $$S = \{(j, j + 2^i, j + 2 \cdot 2^i, j + 3 \cdot 2^i) \mid j \leftarrow \{0, \ldots, 2^i - 1\}\}$$ + + Докажем, что независимые множества не пересекаются по элементам. По построению в $i$-ом множестве разница элементов в четверках $2^i$. Для тройки $(a, b, c)$ определим разностную пару как $(b - a, c - b)$. В $i$-ом множестве разностные пары бывают $(2^i, 2^i)$, $(2^{i + 1}, 2^i)$, $(2^i, 2^{i + 1})$. Разностные пары разных множеств не пересекаются, значит совпадающих троек не существует. + + +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ существует $n + 1$ точек на расстоянии 1 друг от друга. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Будем доказывать индукцией по $n$ более сильное утверждение, а именно существование $n + 1$ таких точек и равноудаленной от них. + + \textit{База.} В $\mathbb{R}^2$ существует правильный треугольник и центр его описанной окружности. + + \textit{Переход.} Пусть есть пример для $\mathbb{R}^{n - 1}$. Расположим точки $A_1, \ldots A_{n - 1}$ и равноудалённую от них $O$ в $\mathbb{R}^n$, сделав их последние координаты равные нулю. Пусть квадрат расстояния от $O$ до $A_i$ равен $d$, $x^2 = 1 - d$. Рассмотрим точку $A_n = O + (0, \ldots, 0, x)$. Она удалена от всех вершин симплекса на расстояние 1, значит множество $\{A_1, \ldots, A_n \}$ требуемое. Осталось найти для него точку, равноудалённую от всех вершин. + + Пусть $f(y)$ -- квадрат расстояния от точки $O + (0, \ldots, y)$ до $A_1$, а $g(y)$ -- до $A_n$. $f(y) = d + y^2, g(y) = (x - y)^2$. + + \begin{equation*} + f(y) - g(y) = d + y^2 - x^2 - y^2 + 2yx = 2yx + d - x^2 + \end{equation*} + + Если $f(y) = g(y)$, то $O + (0, \ldots, y)$ -- искомая точка. $y = \frac{x^2 - d}{2x}$. + +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ не существует $n + 2$ точек на расстоянии 1 друг от друга. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Заметим, что в $\mathbb{R}^2$ существует единственный правильный симплекс с точностью для движения. Далее по индукции можно доказать, что в $\mathbb{R}^n$ существует всего один правильный симплекс. + + Действительно, удалим вершину, тогда оставшиеся лежат в гиперплоскости, и из построения следует, что всего двумя способами можно добавить $n + 1$-ую вершину к симплексу из $\mathbb{R}^{n - 1}$. + + Пусть существует $n + 2$ точки на расстоянии 1 друг от друга. Тогда $n + 1$ из них образуют правильный симплекс, а $n + 2$-ая равноудалена от них. Из построения следует, что равноудалённая точка ровно одна, но расстояние от неё не равно 1. Противоречие. +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть $G_n = (V_n, E_n), n = 1, 2, \ldots$ - дистанционные графы в $\mathbb{R}^n$. Обозначим их числа независимости $\alpha_n$. Пусть $W_n$ - произвольный подграф $G_n$, а $r(W_n)$ - число рёбер внутри $W_n$. Пусть $n\alpha_n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f(n)$ - некоторая функция, асимптотически равная $\frac{|W_n|^2}{\alpha_n}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Будем как в доказательстве теоремы Турана на каждом шаге удалять максимальное независимое множество, и смотреть сколько ребер в него вело. + + На $i$-ом шаге размер максимального независимого множества не превосходит $\alpha_n$, а вершин кроме него осталось хотя бы $|W_n| - i\alpha_n$. + + Пусть среди оставшихся вершин хотя бы из $n\alpha_n$ исходит ровно одно ребро в независимое множество. Тогда какая-то вершина $v$ независимого множества соединена с хотя бы $n + 1$ вершиной оставшегося графа. Поскольку клик размера $n + 2$ нет, то среди этих вершин есть две $u, w$ не соединенные ребром. Удалим из независимого множества $v$ и добавим $u, w$. Оно останется независимым, и его размера увеличится. + + Значит есть не более $n\alpha_n$ вершин, из которых ведет ровно одно ребро в независимое множество. Значит на $i$-ом шаге мы удалим хотя бы $2(|W_n| - i\alpha_n - n\alpha_n) + n\alpha_n = 2(|W_n| - i\alpha_n) - n\alpha_n$ рёбер. + + Просуммируем количество удаленных ребер по всем шагам. Получим + \begin{eqnarray*} + 2 \left(|W_n| \cdot \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] - \alpha_n \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] \cdot \left( \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] + 1 \right)}{2} \right) - \left[ \dfrac{|W_n|}{\alpha_n} \right] \cdot n\alpha_n \sim \\ + \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o(|W_n|) \cdot \frac{ |W_n| }{\alpha_n} \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o\left(\dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n}\right) \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} + \end{eqnarray*} +\end{solution} +\begin{problem} + задача 29 +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Пусть $C_x$ -- количество множеств, содержащих $x$. Тогда $C_1 + \ldots + C_n = 3|W_n|$. + + Тогда посчитаем количество пар пересекающихся множеств, содержащих элемент $x$. Оно асимптотически равно $\frac{C_x^2}{2}$. Оценим количество пар множеств, пересекающихся по двум элементам, содержащих $i$. Их не более, чем $2n$ на вершину. Тогда ребер у нас асимптотически хотя бы + \begin{equation*} + \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2}{2} - n(C_1 + \ldots + C_n) + \end{equation*} + Заметим, что $n(C_1 + \ldots + C_n) = 3|W_n|n = o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right)$. Также из неравенства о средних $$\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2 >= n \cdot \left(\frac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i}{n^2}\right)^2 = 9n$$ + Откуда рёбер асимптотически хотя бы $\frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n} - o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right) \sim \frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n}$. +\end{solution} +\begin{cproblem}{31} + Найдите число ребер в графе $G(n, r, s)$. +\end{cproblem} +\begin{solution}{Решение} + Заметим, что граф $G(n, r, s)$ регулярный. Поэтому для подсчета числа рёбер воспользуемся формулой $|E| = \frac{|V| \cdot k}{2}$, где $k$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, s)$. Для нашего графа эта формула превратится в: $|E| = \frac{C_n^r \cdot C_{n - r}^{r - s}}{2}$. +\end{solution} +\begin{cproblem}{32} + Найдите число треугольников в графе $G(n, r, s)$. +\end{cproblem} +\begin{solution}{Решение} + Зафиксируем $i$, число общих элементов на ребрах треугольника. Способов их выбрать ровно $C_n^i$. Зафиксируем порядок вершин треугольника. Тогда сначала нам надо выбрать $s - i$ элементов в попарные пересечения множеств, а потом $r - 2s + i$ элементов, которые ровно в одном множестве для каждого множества в фиксированном порядке. Способов выбрать элементы попарных пересечений $C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s + i}^{s - i}$, а уникальные элементы $C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}$, итого всего треугольников + \begin{figure*}[!ht] + \begin{equation*} + \dfrac{1}{6}\sum\limits_{i = 0}^{s} C_n^i \left(C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s + i}^{s - i}\right) \left(C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}\right) + \end{equation*} + \explanation{Если одно из чисел $n, k$ меньше нуля или $k > n$, то мы считаем $C_n^k = 0$ в данном случае.} + \end{figure*} +\end{solution} +\begin{cproblem}{34} + Докажите, что если $W_n$ - произвольное подмгожество множества вершин графа $G(n, r, 0)$ и $l = |W_n| > \alpha(G(n, r, 0))$, то + \begin{equation*} + r(W_n) >= \frac{l(l - (C_n^r - C_{n - r}^r))}{2} + \end{equation*} +\end{cproblem} +\begin{solution}{Доказательство} + Посмотрим на $C_n^r$ и $C_{n - r}^r$ как на комбинаторные объекты. $C_n^r = |V(G(n, r, 0))|$. $C_{n - r}^r$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, 0)$. Тогда $C_n^r - C_{n - r}^r$ - число вершин, с которыми не смежна каждая вершина (включая саму себя). + Теперь вернемся к графу $W_n$. В нём степень каждой вершины хотя бы $l - (C_n^r - C_{n - r}^r)$ (Общее число вершин минус максимальное число несмежных). Суммируя по всем $l$ вершинам, получаем: + \begin{equation*} + r(W_n) >= \frac{l(l - (C_n^r - C_{n - r}^r))}{2} + \end{equation*} +\end{solution} +\end{document} diff --git a/main.tex b/main.tex new file mode 100644 index 0000000..24f0ff7 --- /dev/null +++ b/main.tex @@ -0,0 +1,656 @@ +\documentclass[a4paper, 12pt]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T2A]{fontenc} +\usepackage[russian]{babel} +\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb, amsthm, asymptote} +\usepackage{indentfirst} +\usepackage{keyval} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{latexsym} +\usepackage{blindtext} +\usepackage{fancyhdr} +\usepackage[hidelinks]{hyperref} +\usepackage{xcolor} +\usepackage{import} + +\graphicspath{ {./images/} } + +\theoremstyle{definition} + +\newtheorem{innercustomgeneric}{\customgenericname} +\providecommand{\customgenericname}{} +\newcommand{\newcustomtheorem}[2]{% + \newenvironment{#1}[1] + {% + \renewcommand\customgenericname{#2}% + \renewcommand\theinnercustomgeneric{##1}% + \innercustomgeneric + } + {\endinnercustomgeneric} +} + + +\newcounter{mylabelcounter} + +\makeatletter +\newcommand{\labelText}[2]{% +#1\refstepcounter{mylabelcounter}% +\immediate\write\@auxout{% + \string\newlabel{#2}{{1}{\thepage}{{\unexpanded{#1}}}{mylabelcounter.\number\value{mylabelcounter}}{}}% +}% +} +\makeatother + +\newcustomtheorem{cproblem}{Задача} +\newcustomtheorem{cclemma}{Лемма} +\newtheorem{lemma}{Лемма} +\newtheorem{theorem}[lemma]{Теорема} +\newtheorem*{cproof}{Доказательство} +\newtheorem{problem}{Задача} +\newtheorem*{definition}{Определение} + +\makeatletter +\mathchardef\realless=\mathcode`< +\newcommand{\perhapsless}{\@ifnextchar={\leqslant\@gobble}{\realless}} +\mathcode`<="8000 +{\catcode`<=\active \global\let<\perhapsless} + +\mathchardef\realgreater=\mathcode`> +\newcommand{\perhapsgreater}{\@ifnextchar={\geqslant\@gobble}{\realgreater}} +\mathcode`>="8000 +{\catcode`>=\active \global\let>\perhapsgreater} + +\makeatother + +\pagestyle{fancy} + +% \hypersetup{ +% colorlinks=false, +% linkbordercolor=blue, +% pdfborderstyle={/S/U/W 1}, % border style underline 1pt +% } +%\pagenumbering{gobble} + +\renewcommand{\headrulewidth}{0pt} +\fancyhead[LE,LO]{Никифор Кузнецов~\\\hrulefill\\Василий Сильвестров} +\fancyhead[CE,CO]{~\\\hrulefill\\~} +\fancyhead[RE,RO]{ЛКТГ-2021 \\\hrulefill\\Дистанционные графы и теорема Турана} + +\setlength{\headheight}{24.4pt} + +\newenvironment{solution}[1]{\begin{proof}[#1.]\parskip=0pt}{\end{proof}} + +\newenvironment{lbsolution}[1][\proofname]{% + \begin{proof}[#1]$ $\par\nobreak\ignorespaces +}{% + \end{proof} +} +%\fancyheadoffset[CE,CO]{2cm} + +\newenvironment{answer}{\par\emph{Ответ:}}{\par} + +\newcommand{\explanation}[1]{\scriptsize \hfill #1} +\newcommand{\blackqed}{\rule{0.7em}{0.7em}} + +\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$} + +\title{Дистанционные графы и теорема Турана} +\author{Никифор Кузнецов, Василий Сильвестров} +\date{2 августа -- 11 августа} + +\begin{document} +\maketitle +Титульный лист +\newpage +\begin{definition} + \emph{Хроматическое число графа} $\chi(G)$ -- минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины так, чтобы между двумя вершинами одного цвета не было ребра. +\end{definition} + +\begin{definition} + \emph{Независимое множество} -- подмножество вершин графа, где никакие две не соединены ребром. +\end{definition} + +\begin{definition} + \emph{Клика} -- подмножество вершин графа, где любые две не соединены ребром. +\end{definition} + +\begin{definition} + \emph{Число независимости} $\alpha(G)$ -- мощность максимального независимого множества. +\end{definition} + +\begin{definition} + \emph{Кликовое число} $\omega(G)$ -- размер максимальной клики. +\end{definition} +\begin{problem} + Докажите, что $\chi(G) >= \omega(G)$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Рассмотрим вершины максимальной клики. Они все должны быть раскрашены в разные цвета, поскольку все они инцидентны друг другу. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что $\chi(G) >= \dfrac{|V|}{\alpha(G)}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Рассмотрим множество вершин одного цвета. Оно будет являться независимым множеством. По принципу Дирихле найдется множество вершин одного цвета, состоящее из хотя бы $\frac{|V|}{\chi(G)}$ элементов. По определению $\alpha$, $\alpha(G) >= \frac{|V|}{\chi(G)}$, что равносильно $\chi(G) >= \frac{|V|}{\alpha(G)}$. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$, где $\Delta(G)$ -- максимальная степень вершины в $G$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Сделаем индукцию по количеству вершин $V$. + + \textit{База.} Для $V = 0,1$ утверждение очевидно. + + \textit{Переход.} Удалим произвольную вершину из $G$. Для оставшегося графа верно утверждение. Рассмотрим его произвольную правильную раскраску в $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$ цветов и пронумеруем цвета от 0 до $\chi(G)$. Вернём нашу вершину. Покрасим её в MEX\footnote{MEX -- minimal excluded, минимальное целое неотрицательное число, не встречающееся в множестве.} множества цветов её соседей. Так как соседей не более, чем $\Delta(G)$, MEX также не превосходит $\Delta(G)$, значит наша получившаяся раскраска является правильной раскраской в не более, чем $\Delta(G) + 1$ цвет. +\end{solution} + +\begin{problem} + Пусть $G = (V, E)$, $|V| = n$. Докажите, что если в графе $\omega(G) < 3$, то число рёбер в $G$ не больше, чем $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$. Докажите также, что эта оценка неулучшаема. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Докажем утверждение индукцией по $n$. + + \textit{База.} Для $n = 0,1$ очевидно. + + \textit{Переход.} Рассмотрим произвольное ребро(если его нет, то оценка точно выполнена). Удалим две вершины инцидентные ему. Заметим, что из каждой оставшейся вершины в удаленные ведёт не более одного ребра, так как иначе они бы образовывали треугольник. Значит мы удалили не более, чем $n - 1$ ребро. В оставшемся графе $\omega$ не увеличилась, значит для него верно предположение индукции, и в нём не более $\lfloor \frac{n - 2}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n - 2}{2} \rceil = \left(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1 \right) \cdot \left( \lceil \frac{n}{2} \rceil - 1 \right) = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil - (n - 1)$ рёбер, значит в нашем графе не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, что и требовалось. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что утверждение задачи 4 равносильно следующему: пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$; если $\alpha(G) < 3$, то число рёбер в $G$ меньше, чем $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Рассмотрим дополнение графа $G$ -- $\overline{G}$. Для него выполнено условие предыдующей задачи, а значит в нем не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, а значит в нашем графе не менее $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер. +\end{solution} + +\begin{problem}[Теорема Турана] + Пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$. Докажите, что если $\alpha(G) <= k$, то число рёбер в $G$ не меньше, чем\ + \begin{equation*} + n \cdot \left[ \dfrac{n}{k} \right] - k \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{n}{k} \right] \left( \left[ \dfrac{n}{k} \right] + 1 \right)}{2} + \end{equation*} +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Для начала докажем, что эта оценка неулучшаема, откуда будет следовать, что для одинаковых $n$ данное выражение монотонно невозрастает по $k$. + + Пусть $n = kx + r$, где $x = \left[ \frac{n}{k}\right]$. Рассмотрим граф, состоящий из $k$ непересекающихся клик, где $r$ клик содержат $x + 1$ вершину, а $k - r$ содержат $x$ вершин. Посчитаем количество рёбер в нём + \begin{eqnarray*} + E = r \frac{(x + 1)x}{2} + (k - r) \frac{x(x - 1)}{2} = xr + \frac{kx(x - 1)}{2} = + \\ = nx - kx^2 + \frac{kx(x - 1)}{2} = nx - \frac{kx(x + 1)}{2} + \end{eqnarray*} + что и требовалось. + + Докажем утверждение задачи индукцией по $n$. Так как мы доказали монотонность оценки, без ограничения общности можно считать, что число независимости в точности равно $k$. + + \textit{База.} Для $n < k$ утверждение очевидно. + + \textit{Переход.} Удалим независимое множество размера $k$. Каждой вершине, не принадлежащей ему было инцидентно ребро, ведущее в него, значит мы удалили хотя бы $n - k$ рёбер. Прибавим к этому оценку для $n - k$ вершин и получим новую оценку. + + \begin{center} + \begin{equation*} + (n - k) + (n - k) \cdot (x - 1) + k \cdot \dfrac{(x - 1)x}{2} = (n - k)x + k \cdot \dfrac{x(x + 1)}{2} + \end{equation*} + \explanation{Положим $n = kx + r$, $0 <= r < k$. Тогда выполнено $\left[ \frac{n - k}{k} \right] = x - 1$} + \end{center} + Она в точности равна, тому чему требуется. +\end{solution} + +\begin{definition} + \emph{Дистанционным} графом называется граф, в котором вершины -- некоторые точки плоскости и между двумя вершинами есть ребро, если между точками расстояние 1. +\end{definition} + +\begin{problem} + Докажите, что в дистанционном графе нет подграфа $K_4$. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Положим противное. Рассмотрим подграф $K_3$, равносторонний треугольник. Из предположения существует вершина, соединенная со всеми тремя. + + Значит она является центром описанной окружности треугольника. Легко проверить, что радиус описанной окружности равностороннего треугольника не равен его стороне. Противоречие. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в дистанционном графе нет подграфа $K_{2, 3}$. +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Вершина, соединенная с тремя является центром описанной окружности, а он ровно один, значит подграфа $K_{2, 3}$ нет. +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в дистанционном графе нет подграфа $W = $ + + \begin{asy} + unitsize(1cm); + import geometry; + + real SQRT_3 = 0.8660254; + + point pA = (0, 0); + point pB = (1, 0); + point pC = (2, 0); + point pD = (0.5, SQRT_3); + point pE = (1.5, SQRT_3); + point pF = (1, -0.6); + + dot("$A$", pA, SW); + dot("$B$", pB, S); + dot("$C$", pC, S); + dot("$D$", pD, N); + dot("$E$", pE, N); + dot("$F$", pF, S); + + draw(pA -- pB); + draw(pB -- pC); + draw(pA -- pD); + draw(pD -- pB); + draw(pB -- pE); + draw(pD -- pE); + draw(pE -- pC); + draw(pA -- pF); + draw(pC -- pF); +\end{asy} +\end{problem} + +\begin{solution}{Доказательство} + Заметим, что точки $A, B, C, D, E$ расположены именно так как выше, поскольку $ABD, BCE$ -- равносторонние треугольники, и есть ребро $DE$. Тогда длина отрезка $AC$ равна двум. А значит, тогда равноудаленная от его концов имеет расстояние до них хотя бы 1, причем равенство достигается только в точке $B$. +\end{solution} + + +\begin{definition} + Рассмотрим следующую конструкцию. Есть единичная сетка, и на ней отмечен квадрат с $n$ вершинами на стороне и все узлы сетки внутри него. Также от каждого единичного отрезка сетки внутри квадрата в обе стороны отложен равносторонний треугольник. Назовём такой граф $G_{\text{sk}}(n)$. +\end{definition} + +\begin{figure}[!ht] + \begin{center} + \begin{asy} + import geometry; + + unitsize(1cm); + real SQRT_3 = 0.8660254; + //real SQRT_3 = 0.7; + int n = 3; + + point midpoint(point pA, point pB) { + return (pA + pB) / 2; + } + + point swap_coords(point p) { + return (p.y, p.x); + } + + point regular_triangle(point pA, point pB) { + return swap_coords(pB - pA) * SQRT_3 + midpoint(pA, pB); + } + + void draw_g_sk_without_internal(int n) { + for (int i = 0; i < n; ++i) { + for (int j = 0; j < n; ++j) { + dot((i, j), blue); + } + } + + for (int i = 0; i < n - 1; ++i) { + for (int j = 0; j < n; ++j) { + point pA = (i, j), pB = (i + 1, j); + draw(pA -- pB, blue); + point pC = regular_triangle(pA, pB), pD = regular_triangle(pB, pA); + dot(pC); + dot(pD); + draw(pA -- pC); draw(pB -- pC); draw(pA -- pD); draw(pB -- pD); + } + } + for (int i = 0; i < n; ++i) { + for (int j = 0; j < n - 1; ++j) { + point pA = (i, j), pB = (i, j + 1); + draw(pA -- pB, blue); + point pC = regular_triangle(pA, pB), pD = regular_triangle(pB, pA); + dot(pC); + dot(pD); + draw(pA -- pC); draw(pB -- pC); draw(pA -- pD); draw(pB -- pD); + } + } + } + + draw_g_sk_without_internal(n); + + \end{asy} +\end{center} +\caption{$G_{\text{sk}}(3)$ без ребер между вершинами равносторонних треугольников, построенных в одну и ту же сторону внутри соседних квадратов} +\end{figure} + +\begin{lemma} + В $G_{\text{sk}}(n)$ ровно $5n^2 - 4n$ вершин и $18n^2 - 26n + 4$ рёбер +\end{lemma} + +\begin{problem} + Приведите пример непланарного графа, являющегося дистанционным и планарного графа, не являющегося дистанционным. +\end{problem} + +\begin{solution}{Решение} + Рассмотрим $G_{\text{sk}}(4)$. По лемме 2.1 у него 64 вершины и 188 рёбер, что противоречит неравенству $E <= 3V - 6$, которое выполнено для всех планарных графов. + + Рассмотрим $K_4$. Он не дистанционный, но планарный. +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть в графе $G = (V, E)$ на плоскости $4n$ вершин, а $\alpha(G) <= n$. Докажите, что когда граф $G$ дистанционный имеет место более сильная оценка $|E| >= 7n$. Воспользуйтесь результатом задачи 7. +\end{problem} + +\begin{lemma} + При удалении вершины и всех её соседей число независимости строго уменьшается. +\end{lemma} +\begin{solution}{Доказательство} + В исходном графе любое максимальное независимое множество содержало либо вершину либо хотя бы одного соседа, значит после удаления, все максимальные независимые множества потеряют хотя бы одну вершину. +\end{solution} +\begin{solution}{Решение} + Будем действовать по индукции. + + \textit{База.} Для $n = 1$ очевидно. + + \textit{Переход.} Попробуем удалить четыре вершины, уменьшив размер максимального независимого множества, удалив не менее 7 рёбер. Обозначим за $d$ минимальную степень вершины. Если $d >= 4$, то в $G$ суммарно хотя бы $8n$ рёбер. Если $d <= 2$, то удалив вершину и ее соседей, по теореме Брукса в оставшемся графе $\Delta(G) >= \chi(G) >= \frac{4n - d - 1}{n - 1} > 4$, откуда в графе останется вершина степени хотя бы 5. Удалим её тоже. При $d = 2$ мы удалим хотя бы 8 рёбер. В случае $d = 1$ мы можем удалить ещё одну вершину, и тогда мы удалим хотя бы 7 рёбер, в случае $d = 0$ можно найти ещё две неизолированные вершины, которым инцидентно хотя бы два ребра, и удалить их. + + Осталось разобрать случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени три. У неё найдется два соседа $u, w$ не соединенные ребром, в силу отсутствия $K_4$. Тогда им инцидентно хотя бы четыре ребра, не инцидентные $v$. Тогда удалив $v$ и всех соседей, мы удалим хотя бы 7 рёбер, что и требовалось. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что если у графа $G = (V, E)$ (не обязательно дистанционного) $4n$ вершин, $\alpha(G) <= n$, $\omega(G) <= 3$ и \textit{минимальная} степень вершины не превосходит трёх, то из графа можно удалить не более четырёх вершин, чтобы уменьшить число независимости и избавиться хотя бы от восьми рёбер. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Аккуратно рассмотрим переход из решения прошлой задачи. Осталось рассмотреть случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени $d$. + + Пусть среди соседей $v$ отсутствует хотя бы два ребра между ними. Тогда суммарно им инцидентно хотя бы 8 рёбер, поэтому по лемме 2.2 мы можем удалить её с соседями, уменьшив число независимости. + + + Иначе, между соседями нет ровно одного ребра в силу отсутствия $K_4$. Пусть суммарно им инцидентно менее 8 рёбер. Обозначим его концы $u$ и $w$, а оставшегося соседа $t$. Заметим, что из $t$ нет рёбер во вне по предположению. Рассмотрим единственную(поскольку $d = 3$) вершину $x$ не из уже отмеченных, инцидентных $u$. + \begin{center} + + \begin{asy} + import geometry; + + unitsize(0.5cm); + + point pV = (3, 4); + point pU = (1, 2); + point pW = (2.7, 0); + point pT = (4, 2); + + point pX = (1, 0); + + dot("$v$", pV, N); + dot("$u$", pU, W); + dot("$w$", pW, S); + dot("$t$", pT, E); + + dot("$x$", pX, S); + //dot("$y$", pY); + + draw(pV -- pU); draw(pV -- pW); draw(pV -- pT); + draw(pW -- pT); draw(pU -- pT); + draw(pU -- pW, dashed); + + draw(pU -- pX); + draw(pX -- pT, dashed); + //draw(pW -- pY); + draw(pX -- pV, dashed); + //draw(pY -- pV, dashed); + \end{asy} + \end{center} + + Тогда рассмотрим вершину $u$ и ее соседей. Рёбер $x \rightarrow v, x \rightarrow t$ нет в графе, значит рассмотрев вершину $u$ вместо вершины $v$ можно свести всё к предыдущему случаю. +\end{solution} +\begin{problem} + С помощью индукции выведите из задачи 12 оценку $|E| >= 8n$ в условиях задачи 11. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Пусть минимальная степень вершины хотя бы 4, тогда суммарно хотя бы $8n$ рёбер, значит можно считать, что на каждом шаге индукции она не больше трёх. + + \textit{База.} Для $n = 0, 1, 2$ очевидно. + + \textit{Переход}. Применим задачу 12, сведя всё к случаю для $n - 1$. Поскольку мы удалили хотя бы 8 рёбер, сложив оценки, получим требуемое. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что для графов на $4n$ вершинах, где $\alpha(G) <= n, \omega(G) <= 3$ оценка $|E| >= 8n$ неулучшаема. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Рассмотрим следующий граф на 8 вершинах. + \begin{figure*}[!ht] + \begin{center} + \begin{asy} + import geometry; + + unitsize(1cm); + + point pA = (-1, 0); + point pB = (-1, 1); + point pC = (0, 2); + point pD = (1, 2); + point pE = (2, 1); + point pF = (2, 0); + point pG = (1, -1); + point pH = (0, -1); + + dot(pA); dot(pB); dot(pC); dot(pD); dot(pE); dot(pF); dot(pG); dot(pH); + + draw(pA -- pB -- pC -- pD -- pE -- pF -- pG -- pH -- pA); + + draw(pB -- pD); draw(pB -- pE); + draw(pA -- pE); draw(pA -- pF); + draw(pC -- pH); draw(pD -- pG); + draw(pF -- pH); draw(pC -- pG); + \end{asy} + \end{center} + \end{figure*} + + Заметим, что в нём 16 рёбер, и его число независимости равно двум. Рассмотрим $k$ копий такого графа. + + Получится граф на $4 \cdot 2k$ вершинах, с числом независимости $2k$ и $8 \cdot 2k$ ребрами, причем такой граф не содержит $K_4$. Значит наша оценка не улучшаема, что и требуется. +\end{solution} +\begin{problem} + С помощью результатов задач 7-9 докажите, что если у дистанционного графа на плоскости $4n$ вершин и $\alpha(G) <= n$, то $|E| >= \frac{26}{3}n$. +\end{problem} +\begin{problem} + Улучшите оценку задачи 15. +\end{problem} +\begin{definition} + Для каждого ребра назовем \textit{соединяющим} элементом общий элемент множеств, находящихся в вершинах. +\end{definition} +\begin{problem} + Найдите число рёбер в графе $G(n, 3, 1)$. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Разобьем все рёбра на группы по соединяющему элементу. Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $2! = 2$. Выберем соединяющий элемент ($C_n^1$ способами). Потом выберем по два оставшихся элемента для первого и второго множеств в соединённых вершинах ($C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2$ способами). Итого $\frac{1}{2} \cdot C_n^1 \cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 = 15 \cdot C_{n}^5$ рёбер. +\end{solution} +\begin{problem} + Найдите число треугольников в графе $G(n, 3, 1)$. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $3! = 6$. Рассмотрим все возможные варианты количества различных элементов среди соединяющих элементов рёбер в треугольнике. Если различных элементов $3$, то таких треугольников существует ровно $C_n^3 \cdot C_{n - 1}^1 \cdot C_{n - 2}^1 \cdot C_{n - 3}^1 \cdot C_{n - 4}^1 \cdot C_{n - 5}^1 = C_n^5 \cdot 5!$. Если различных элементов $2$, то такого случая не существует, т.к. тогда все три множества имеют общий элемент. Если всего различных элементов $1$, то таких треугольнико существует ровно $C_n^1 \cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 \cdot C_{n - 5}^2 = C_n^6 \cdot \frac{6!}{8}$. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что $\alpha(G(n, 3, 1)) = n, n - 1, n - 2$ в зависимости от остатка при делении на 4. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Рассмотрим граф $G^\prime$, в котором есть ребро между двумя множествами, если они пересекаются по 2 элементам. + + Посмотрим на независимое в множество $G$. Пусть в $G^\prime$ есть ребра $uv$ и $uw$. Тогда если вершины $u, v, w$ образуют независимое множество в $G$, то в $G^\prime$ есть ребро $vw$, так как множества $v, w$ пересекутся по хотя бы одному элементу. + + Значит если рассмотреть независимое множество $I \subset G$, то соответствующий ему подграф $I^\prime \subset G^\prime$, то в нём все компоненты связности будут кликами. Поскольку $I$ -- независимое множество, а ребер в $G^\prime$ между кликами нет, то любые два множества из разных клик не пересекаются, значит множества элементов клик не пересекаются. + + Посмотрим, сколько вершин может быть в клике в $G^\prime$, где всего $k$ элементов множества. Пусть есть ребра $uv, uw$, причём соответстующие множества пересекаются по одинаковой паре элементов. Тогда все вершины в клике пересекаются по этой паре элементов. + + Значит либо размер клики не превосходит 5, либо в ней не более $k - 2$ вершин, поскольку все множества пересекаются по одинаковым элементам. При $k = 4$ в ней может быть не более $k$ вершин(все $C^3_4$ вершин), при $k = 5$ не более $k - 1$ вершин. + + Размер независимого множества это сумма по всем кликам, причем из рассуждений выше, видно, что она не превосходит $n$. При $n = 4k, 4k + 1$, рассматриваем все трехэлементные подмножества множеств вида $\{4i + 1, 4i + 2, 4i + 3, 4i + 4\}$, получая $n$ или $n - 1$. При $n = 4k + 2, 4k + 3$ рассмотрим множества вида $\{1, 2, i\}$ и получим $n - 2$ элемента в независимом множестве. Из рассуждений выше данный ответ оптимален. +\end{solution} +\begin{problem} + Найдите $w(G(n, 3, 1))$. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Раскрасим ребра между вершинами в цвета соответстующие номеру совпадающего элемента. Пусть есть треугольник. Заметим, что если в нем есть два одноцветных ребра, то третье ребро будет такого же цвета. Значит в нашем графе все треугольники либо одноцветны либо разноцветны. + + В частности, данное условие означает, что если одна вершина в клике достижима из другой вершины по ребрам одного цвета, то между ними есть ребро этого цвета. Это значит, что все компоненты связности по одному цвету являются кликами этого цвета. + + Также если рассмотреть два ребра одного цвета в клике, то это означает, что вершины инцидентные им содержат соответствующий элемент, а значит соединены ребром этого цвета между собой. То есть в клике всего одна компонента связности по каждому цвету, которого есть хотя бы два ребра. + + Посмотрим как выглядит клика одного цвета $c$ размера $w$. Это множества вида $\{c, a_i, b_i\}$, причём все $a_i, b_i$ различны. Пусть есть вершина соединенная со всеми в данной клике. Тогда из неё идет $w$ рёбер разного цвета, значит $w <= 3$, так как из каждой вершины ведут ребра трех цветов. Значит максимальная клика либо состоит из клик размера не более 3, либо из одной клики. + + Во втором случае максимальная клика получается размера $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$, а во втором случае в ней не более $3n$ рёбер, значит размер максимальной клики равен $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$ начиная с некоторого $n$. + + Подробнее рассмотрим второй случай. Пусть есть треугольник. Тогда каждая вершина соединена со всеми его вершинами, а значит всего цветов ребер в такой клике не более 7. Тогда в ней не более 21 ребра, а значит её размер не превосходит 7. Пример такой клики: + $$\{\{1, 2, 3\} \{1, 4, 5\} \{1, 6, 7\} \{2, 4, 6\} \{2, 5, 7\} \{3, 4, 7\} \{3, 5, 6\} \}$$ + + Значит ответ такой + \begin{equation*} + \omega(G(n, 3, 1)) = \begin{cases} + 0 & n <= 4 \\ + 4 & n = 6 \\ + 7 & n \in [7, 13] \\ + \left[ \frac{n - 1}{2 }\right] & \text{otherwise} + \end{cases} + \end{equation*} + +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что если $n = 2^k$, то $\chi(G) = \frac{|V|}{\alpha(G)} = \frac{(n - 1)\cdot(n - 2)}{2}$ +\end{problem} +\begin{problem} + Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$ (Для каждого $n$ рассматривается своё $W_n$). Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. + Докажите, что обычная теорема Турана гарантирует тогда, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f$ - некоторая функция, + асимптотически равная величине $\frac{ |W_n|^2}{2\alpha(G(n, 3, 1))} \sim \frac{ |W_n|^2}{2n}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + По задаче 19: $k = \alpha(|W_n|) <= \alpha(G(n, 3, 1)) <= n$. + + Запишем теорему Турана для $W_n$. + \begin{eqnarray*} + r(W_n) >= |W_n| \cdot \left[ \frac{|W_n|}{k}\right] - k \cdot \frac{\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] \cdot \left(\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] + 1\right)}{2} \sim \\ + \sim |W_n| \cdot \frac{|W_n|}{n} - |W_n| \cdot \frac{\left(\frac{|W_n|}{n} + 1\right)}{2} \sim \frac{|W_n|^2}{n} - \frac{|W_n|^2}{2n} = \frac{|W_n|^2}{2n} + \end{eqnarray*} +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что граф $G(n, 3, 1)$ изоморфен следующему графу $H$ в $\mathbb{R}^n$. + \begin{equation*} + V = \{\textbf{x} = (x_1, \ldots , x_n): x_i \in \{0, 1\}, x_1 + \ldots + x_n = 3\}, E = \{\{\textbf{x}, \textbf{y}\}: (\textbf{x}, \textbf{y}) = 1\}. + \end{equation*} +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Проведем биекцию между двумя множествами графов, сохранив отношение инцидентности. Пронумеруем элементы множествах в вершинах $G(n, 3, 1)$ от $1$ до $n$. Каждой вершине $v$ из $G(n, 3, 1)$ сопоставим вектор $v^\prime$ в котором координаты с соответствующие номерам элементов из $v$ равны $1$, а остальные координаты равны $0$. Заметим, что $v^\prime \in H$. Теперь рассмотрим любую вершину $w$ инцидентную $v$. Заметим, что $w^\prime$ - вершина, сопоставленная $w$ в $H$ будет инцидентна $v^\prime$. И никакие другие вершины не будут инцидентны $v^\prime$. +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть $K_{l_1, \ldots, l_r}$ - полный $r$ - дольный граф с размерами долей $l_1, \ldots, l_r$. Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ не содержит в качестве подграфа граф $K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n}{2}\right] + 1$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Докажем утверждение по индукции. + + \textit{База.} Для $n = 2$, на плоскости не существует графа $K_{3, 3}$. + + \textit{Переход.} Пусть утверждение доказано для всех размерностей пространства, не превосходящих $n$. Докажем утвердение для $\mathbb{R}^{n + 1}$ от противного. Пусть в $\mathbb{R}^n$ существует полный граф $G = K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n + 1}{2}\right] + 1$. Рассмотрим первую долю $G$. Тогда все остальные вершины лежат в подпространстве проходящем через центр описанной окружности треугольника образованного тремя вершинами первой доли, и перпендикулярном плоскости, проходящей через 3 вершины этой доли. Это подпространство имеет размерность $n - 2$, значит для него выполняется предположение индукции, значит там не существует графа $K_{3, \ldots, 3}$ с количеством долей $\left[\frac{n - 2}{2}\right] + 1 = \left[\frac{n}{2}\right]$. Противоречие. +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что если в условиях задачи 22 дополнительно потребовать выполнение условия $|W_n| = o(n^2)$, то оценка из задачи 22 (т.е. обычная турановская оценка) асимптотически неулучшаема. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Пусть в нашем подграфе есть $f(n)$ непересекающихся независимых множеств размера $n$. Тогда если $nf(n) = o(n^2)$ и $n = o(nf(n))$, то мы нашли искомый пример. + + Решим задачу для $n = 2^k$, где $f(n) = k - 2 \sim \log n$. Будем предъявлять каждое независимое множество, как разбиение $\{1, \ldots n\}$ на непересекающиеся четверки, вершины множества -- все трехэлементные подмножества четверок. + + Построим $i$-ое независимое множество. Разобъём $2^{i + 2}$ элементов на непересекающиеся четверки. Поскольку $2^{i + 2} \mid n = 2^k$, мы сможем разбить все $n$ элементов. Искомое разбиение $\{0, \ldots 2^{i + 2} - 1\}$ на четверки: $$S = \{(j, j + 2^i, j + 2 \cdot 2^i, j + 3 \cdot 2^i) \mid j \leftarrow \{0, \ldots, 2^i - 1\}\}$$ + + Докажем, что независимые множества не пересекаются по элементам. По построению в $i$-ом множестве разница элементов в четверках $2^i$. Для тройки $(a, b, c)$ определим разностную пару как $(b - a, c - b)$. В $i$-ом множестве разностные пары бывают $(2^i, 2^i)$, $(2^{i + 1}, 2^i)$, $(2^i, 2^{i + 1})$. Разностные пары разных множеств не пересекаются, значит совпадающих троек не существует. + + +\end{solution} +\begin{problem} + Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ существует $n + 1$ точек на расстоянии 1 друг от друга. +\end{problem} +\begin{solution}{Решение} + Будем доказывать индукцией по $n$ более сильное утверждение, а именно существование $n + 1$ таких точек и равноудаленной от них. + + \textit{База.} В $\mathbb{R}^2$ существует правильный треугольник и центр его описанной окружности. + + \textit{Переход.} Пусть есть пример для $\mathbb{R}^{n - 1}$. Расположим точки $A_1, \ldots A_{n - 1}$ и равноудалённую от них $O$ в $\mathbb{R}^n$, сделав их последние координаты равные нулю. Пусть квадрат расстояния от $O$ до $A_i$ равен $d$, $x^2 = 1 - d$. Рассмотрим точку $A_n = O + (0, \ldots, 0, x)$. Она удалена от всех вершин симплекса на расстояние 1, значит множество $\{A_1, \ldots, A_n \}$ требуемое. Осталось найти для него точку, равноудалённую от всех вершин. + + Пусть $f(y)$ -- квадрат расстояния от точки $O + (0, \ldots, y)$ до $A_1$, а $g(y)$ -- до $A_n$. $f(y) = d + y^2, g(y) = (x - y)^2$. + + \begin{equation*} + f(y) - g(y) = d + y^2 - x^2 - y^2 + 2yx = 2yx + d - x^2 + \end{equation*} + + Если $f(y) = g(y)$, то $O + (0, \ldots, y)$ -- искомая точка. $y = \frac{x^2 - d}{2x}$. + +\end{solution} + +\begin{problem} + Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ не существует $n + 2$ точек на расстоянии 1 друг от друга. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Заметим, что в $\mathbb{R}^2$ существует единственный правильный симплекс с точностью для движения. Далее по индукции можно доказать, что в $\mathbb{R}^n$ существует всего один правильный симплекс. + + Действительно, удалим вершину, тогда оставшиеся лежат в гиперплоскости, и из построения следует, что всего двумя способами можно добавить $n + 1$-ую вершину к симплексу из $\mathbb{R}^{n - 1}$. + + Пусть существует $n + 2$ точки на расстоянии 1 друг от друга. Тогда $n + 1$ из них образуют правильный симплекс, а $n + 2$-ая равноудалена от них. Из построения следует, что равноудалённая точка ровно одна, но расстояние от неё не равно 1. Противоречие. +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть $G_n = (V_n, E_n), n = 1, 2, \ldots$ - дистанционные графы в $\mathbb{R}^n$. Обозначим их числа независимости $\alpha_n$. Пусть $W_n$ - произвольный подграф $G_n$, а $r(W_n)$ - число рёбер внутри $W_n$. Пусть $n\alpha_n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f(n)$ - некоторая функция, асимптотически равная $\frac{|W_n|^2}{\alpha_n}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Будем как в доказательстве теоремы Турана на каждом шаге удалять максимальное независимое множество, и смотреть сколько ребер в него вело. + + На $i$-ом шаге размер максимального независимого множества не превосходит $\alpha_n$, а вершин кроме него осталось хотя бы $|W_n| - i\alpha_n$. + + Пусть среди оставшихся вершин хотя бы из $n\alpha_n$ исходит ровно одно ребро в независимое множество. Тогда какая-то вершина $v$ независимого множества соединена с хотя бы $n + 1$ вершиной оставшегося графа. Поскольку клик размера $n + 2$ нет, то среди этих вершин есть две $u, w$ не соединенные ребром. Удалим из независимого множества $v$ и добавим $u, w$. Оно останется независимым, и его размера увеличится. + + Значит есть не более $n\alpha_n$ вершин, из которых ведет ровно одно ребро в независимое множество. Значит на $i$-ом шаге мы удалим хотя бы $2(|W_n| - i\alpha_n - n\alpha_n) + n\alpha_n = 2(|W_n| - i\alpha_n) - n\alpha_n$ рёбер. + + Просуммируем количество удаленных ребер по всем шагам. Получим + \begin{eqnarray*} + 2 \left(|W_n| \cdot \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] - \alpha_n \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] \cdot \left( \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] + 1 \right)}{2} \right) - \left[ \dfrac{|W_n|}{\alpha_n} \right] \cdot n\alpha_n \sim \\ + \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o(|W_n|) \cdot \frac{ |W_n| }{\alpha_n} \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o\left(\dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n}\right) \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} + \end{eqnarray*} +\end{solution} +\begin{problem} + Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$. Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. + Докажите, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f$ - некоторая функция асимптотически равная $\frac{9}{2}\frac{ |W_n|^2}{n}$. +\end{problem} +\begin{solution}{Доказательство} + Пусть $C_x$ -- количество множеств, содержащих $x$. Тогда $C_1 + \ldots + C_n = 3|W_n|$. + + Тогда посчитаем количество пар пересекающихся множеств, содержащих элемент $x$. Оно асимптотически равно $\frac{C_x^2}{2}$. Оценим количество пар множеств, пересекающихся по двум элементам, содержащих $i$. Их не более, чем $2n$ на вершину. Тогда ребер у нас асимптотически хотя бы + \begin{equation*} + \dfrac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2}{2} - n(C_1 + \ldots + C_n) + \end{equation*} + Заметим, что $n(C_1 + \ldots + C_n) = 3|W_n|n = o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right)$. Также из неравенства о средних $$\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2 >= n \cdot \left(\frac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i}{n^2}\right)^2 = 9n$$ + Откуда рёбер асимптотически хотя бы $\frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n} - o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right) \sim \frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n}$. +\end{solution} +\begin{cproblem}{31} + Найдите число ребер в графе $G(n, r, s)$. +\end{cproblem} +\begin{solution}{Решение} + Заметим, что граф $G(n, r, s)$ регулярный. Поэтому для подсчета числа рёбер воспользуемся формулой $|E| = \frac{|V| \cdot k}{2}$, где $k$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, s)$. Для нашего графа эта формула превратится в: $|E| = \frac{C_n^r \cdot C_{n - r}^{r - s}}{2}$. +\end{solution} +\begin{cproblem}{32} + Найдите число треугольников в графе $G(n, r, s)$. +\end{cproblem} +\begin{solution}{Решение} + Зафиксируем $i$, число общих элементов на ребрах треугольника. Способов их выбрать ровно $C_n^i$. Зафиксируем порядок вершин треугольника. Тогда сначала нам надо выбрать $s - i$ элементов в попарные пересечения множеств, а потом $r - 2s + i$ элементов, которые ровно в одном множестве для каждого множества в фиксированном порядке. Способов выбрать элементы попарных пересечений $C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s + i}^{s - i}$, а уникальные элементы $C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}$, итого всего треугольников + \begin{figure*}[!ht] + \begin{equation*} + \dfrac{1}{6}\sum\limits_{i = 0}^{s} C_n^i \left(C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s + i}^{s - i}\right) \left(C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}\right) + \end{equation*} + \explanation{Если одно из чисел $n, k$ меньше нуля или $k > n$, то мы считаем $C_n^k = 0$ в данном случае.} + \end{figure*} +\end{solution} +\begin{cproblem}{34} + Докажите, что если $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, r, 0)$ и $l = |W_n| > \alpha(G(n, r, 0))$, то + \begin{equation*} + r(W_n) >= \frac{l(l - (C_n^r - C_{n - r}^r))}{2} + \end{equation*} +\end{cproblem} +\begin{solution}{Доказательство} + Посмотрим на $C_n^r$ и $C_{n - r}^r$ как на комбинаторные объекты. $C_n^r = |V(G(n, r, 0))|$. $C_{n - r}^r$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, 0)$. Тогда $C_n^r - C_{n - r}^r$ - число вершин, с которыми не смежна каждая вершина (включая саму себя). + Теперь вернемся к графу $W_n$. В нём степень каждой вершины хотя бы $l - (C_n^r - C_{n - r}^r)$ (Общее число вершин минус максимальное число несмежных). Суммируя по всем $l$ вершинам, получаем: + \begin{equation*} + r(W_n) >= \frac{l(l - (C_n^r - C_{n - r}^r))}{2} + \end{equation*} +\end{solution} +\end{document}