forked from thematdev/lktg2021
Длинные строки разбиты на части в .tex файле.
This commit is contained in:
parent
ed811916a2
commit
a9ddc5e731
316
main.tex
316
main.tex
@ -103,7 +103,8 @@
|
||||
Титульный лист
|
||||
\newpage
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\emph{Хроматическое число графа} $\chi(G)$ -- минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины так, чтобы между двумя вершинами одного цвета не было ребра.
|
||||
\emph{Хроматическое число графа} $\chi(G)$ -- минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины
|
||||
так, чтобы между двумя вершинами одного цвета не было ребра.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
@ -125,13 +126,16 @@
|
||||
Докажите, что $\chi(G) >= \omega(G)$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Рассмотрим вершины максимальной клики. Они все должны быть раскрашены в разные цвета, поскольку все они инцидентны друг другу.
|
||||
Рассмотрим вершины максимальной клики. Они все должны быть раскрашены в разные цвета, поскольку все они
|
||||
инцидентны друг другу.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что $\chi(G) >= \dfrac{|V|}{\alpha(G)}$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Рассмотрим множество вершин одного цвета. Оно будет являться независимым множеством. По принципу Дирихле найдется множество вершин одного цвета, состоящее из хотя бы $\frac{|V|}{\chi(G)}$ элементов. По определению $\alpha$, $\alpha(G) >= \frac{|V|}{\chi(G)}$, что равносильно $\chi(G) >= \frac{|V|}{\alpha(G)}$.
|
||||
Рассмотрим множество вершин одного цвета. Оно будет являться независимым множеством. По принципу Дирихле
|
||||
найдется множество вершин одного цвета, состоящее из хотя бы $\frac{|V|}{\chi(G)}$ элементов. По определению
|
||||
$\alpha$, $\alpha(G) >= \frac{|V|}{\chi(G)}$, что равносильно $\chi(G) >= \frac{|V|}{\alpha(G)}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$, где $\Delta(G)$ -- максимальная степень вершины в $G$.
|
||||
@ -141,11 +145,17 @@
|
||||
|
||||
\textit{База.} Для $V = 0,1$ утверждение очевидно.
|
||||
|
||||
\textit{Переход.} Удалим произвольную вершину из $G$. Для оставшегося графа верно утверждение. Рассмотрим его произвольную правильную раскраску в $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$ цветов и пронумеруем цвета от 0 до $\chi(G)$. Вернём нашу вершину. Покрасим её в MEX\footnote{MEX -- minimal excluded, минимальное целое неотрицательное число, не встречающееся в множестве.} множества цветов её соседей. Так как соседей не более, чем $\Delta(G)$, MEX также не превосходит $\Delta(G)$, значит наша получившаяся раскраска является правильной раскраской в не более, чем $\Delta(G) + 1$ цвет.
|
||||
\textit{Переход.} Удалим произвольную вершину из $G$. Для оставшегося графа верно утверждение. Рассмотрим его
|
||||
произвольную правильную раскраску в $\chi(G) <= \Delta(G) + 1$ цветов и пронумеруем цвета от 0 до $\chi(G)$.
|
||||
Вернём нашу вершину. Покрасим её в MEX\footnote{MEX -- minimal excluded, минимальное целое неотрицательное
|
||||
число, не встречающееся в множестве.} множества цветов её соседей. Так как соседей не более, чем $\Delta(G)$,
|
||||
MEX также не превосходит $\Delta(G)$, значит наша получившаяся раскраска является правильной раскраской в не
|
||||
более, чем $\Delta(G) + 1$ цвет.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Пусть $G = (V, E)$, $|V| = n$. Докажите, что если в графе $\omega(G) < 3$, то число рёбер в $G$ не больше, чем $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$. Докажите также, что эта оценка неулучшаема.
|
||||
Пусть $G = (V, E)$, $|V| = n$. Докажите, что если в графе $\omega(G) < 3$, то число рёбер в $G$ не больше,
|
||||
чем $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$. Докажите также, что эта оценка неулучшаема.
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
@ -153,39 +163,55 @@
|
||||
|
||||
\textit{База.} Для $n = 0,1$ очевидно.
|
||||
|
||||
\textit{Переход.} Рассмотрим произвольное ребро(если его нет, то оценка точно выполнена). Удалим две вершины инцидентные ему. Заметим, что из каждой оставшейся вершины в удаленные ведёт не более одного ребра, так как иначе они бы образовывали треугольник. Значит мы удалили не более, чем $n - 1$ ребро. В оставшемся графе $\omega$ не увеличилась, значит для него верно предположение индукции, и в нём не более $\lfloor \frac{n - 2}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n - 2}{2} \rceil = \left(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1 \right) \cdot \left( \lceil \frac{n}{2} \rceil - 1 \right) = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil - (n - 1)$ рёбер, значит в нашем графе не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, что и требовалось.
|
||||
\textit{Переход.} Рассмотрим произвольное ребро(если его нет, то оценка точно выполнена). Удалим две вершины
|
||||
инцидентные ему. Заметим, что из каждой оставшейся вершины в удаленные ведёт не более одного ребра, так как
|
||||
иначе они бы образовывали треугольник. Значит мы удалили не более, чем $n - 1$ ребро. В оставшемся графе
|
||||
$\omega$ не увеличилась, значит для него верно предположение индукции, и в нём не более $\lfloor \frac{n - 2}{2}
|
||||
\rfloor \cdot \lceil \frac{n - 2}{2} \rceil = \left(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1 \right) \cdot
|
||||
\left( \lceil \frac{n}{2} \rceil - 1 \right) = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil -
|
||||
(n - 1)$ рёбер, значит в нашем графе не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$
|
||||
рёбер, что и требовалось.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что утверждение задачи 4 равносильно следующему: пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$; если $\alpha(G) < 3$, то число рёбер в $G$ меньше, чем $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$.
|
||||
Докажите, что утверждение задачи 4 равносильно следующему: пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$; если $\alpha(G) < 3$, то
|
||||
число рёбер в $G$ меньше, чем $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Рассмотрим дополнение графа $G$ -- $\overline{G}$. Для него выполнено условие предыдующей задачи, а значит в нем не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, а значит в нашем графе не менее $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер.
|
||||
Рассмотрим дополнение графа $G$ -- $\overline{G}$. Для него выполнено условие предыдующей задачи, а значит в
|
||||
нем не более $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер, а значит в нашем графе не
|
||||
менее $C^2_n - \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \cdot \lceil \frac{n}{2} \rceil$ рёбер.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}[Теорема Турана]
|
||||
Пусть $G = (V, E)$ и $|V| = n$. Докажите, что если $\alpha(G) <= k$, то число рёбер в $G$ не меньше, чем\
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
n \cdot \left[ \dfrac{n}{k} \right] - k \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{n}{k} \right] \left( \left[ \dfrac{n}{k} \right] + 1 \right)}{2}
|
||||
n \cdot \left[ \dfrac{n}{k} \right] - k \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{n}{k} \right] \left( \left[
|
||||
\dfrac{n}{k} \right] + 1 \right)}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Для начала докажем, что эта оценка неулучшаема, откуда будет следовать, что для одинаковых $n$ данное выражение монотонно невозрастает по $k$.
|
||||
Для начала докажем, что эта оценка неулучшаема, откуда будет следовать, что для одинаковых $n$ данное
|
||||
выражение монотонно невозрастает по $k$.
|
||||
|
||||
Пусть $n = kx + r$, где $x = \left[ \frac{n}{k}\right]$. Рассмотрим граф, состоящий из $k$ непересекающихся клик, где $r$ клик содержат $x + 1$ вершину, а $k - r$ содержат $x$ вершин. Посчитаем количество рёбер в нём
|
||||
Пусть $n = kx + r$, где $x = \left[ \frac{n}{k}\right]$. Рассмотрим граф, состоящий из $k$ непересекающихся
|
||||
клик, где $r$ клик содержат $x + 1$ вершину, а $k - r$ содержат $x$ вершин. Посчитаем количество рёбер в нём
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
E = r \frac{(x + 1)x}{2} + (k - r) \frac{x(x - 1)}{2} = xr + \frac{kx(x - 1)}{2} =
|
||||
\\ = nx - kx^2 + \frac{kx(x - 1)}{2} = nx - \frac{kx(x + 1)}{2}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
что и требовалось.
|
||||
|
||||
Докажем утверждение задачи индукцией по $n$. Так как мы доказали монотонность оценки, без ограничения общности можно считать, что число независимости в точности равно $k$.
|
||||
Докажем утверждение задачи индукцией по $n$. Так как мы доказали монотонность оценки, без ограничения
|
||||
общности можно считать, что число независимости в точности равно $k$.
|
||||
|
||||
\textit{База.} Для $n < k$ утверждение очевидно.
|
||||
|
||||
\textit{Переход.} Удалим независимое множество размера $k$. Каждой вершине, не принадлежащей ему было инцидентно ребро, ведущее в него, значит мы удалили хотя бы $n - k$ рёбер. Прибавим к этому оценку для $n - k$ вершин и получим новую оценку.
|
||||
\textit{Переход.} Удалим независимое множество размера $k$. Каждой вершине, не принадлежащей ему было
|
||||
инцидентно ребро, ведущее в него, значит мы удалили хотя бы $n - k$ рёбер. Прибавим к этому оценку для $n - k$
|
||||
вершин и получим новую оценку.
|
||||
|
||||
\begin{center}
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
@ -197,7 +223,8 @@
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
\emph{Дистанционным} графом называется граф, в котором вершины -- некоторые точки плоскости и между двумя вершинами есть ребро, если между точками расстояние 1.
|
||||
\emph{Дистанционным} графом называется граф, в котором вершины -- некоторые точки плоскости и между двумя
|
||||
вершинами есть ребро, если между точками расстояние 1.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{problem}
|
||||
@ -205,9 +232,11 @@
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Положим противное. Рассмотрим подграф $K_3$, равносторонний треугольник. Из предположения существует вершина, соединенная со всеми тремя.
|
||||
Положим противное. Рассмотрим подграф $K_3$, равносторонний треугольник. Из предположения существует вершина,
|
||||
соединенная со всеми тремя.
|
||||
|
||||
Значит она является центром описанной окружности треугольника. Легко проверить, что радиус описанной окружности равностороннего треугольника не равен его стороне. Противоречие.
|
||||
Значит она является центром описанной окружности треугольника. Легко проверить, что радиус описанной
|
||||
окружности равностороннего треугольника не равен его стороне. Противоречие.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}
|
||||
@ -215,7 +244,8 @@
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Вершина, соединенная с тремя является центром описанной окружности, а он ровно один, значит подграфа $K_{2, 3}$ нет.
|
||||
Вершина, соединенная с тремя является центром описанной окружности, а он ровно один, значит подграфа
|
||||
$K_{2, 3}$ нет.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
\begin{problem}
|
||||
@ -254,12 +284,16 @@
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Заметим, что точки $A, B, C, D, E$ расположены именно так как выше, поскольку $ABD, BCE$ -- равносторонние треугольники, и есть ребро $DE$. Тогда длина отрезка $AC$ равна двум. А значит, тогда равноудаленная от его концов имеет расстояние до них хотя бы 1, причем равенство достигается только в точке $B$.
|
||||
Заметим, что точки $A, B, C, D, E$ расположены именно так как выше, поскольку $ABD, BCE$ -- равносторонние
|
||||
треугольники, и есть ребро $DE$. Тогда длина отрезка $AC$ равна двум. А значит, тогда равноудаленная от его
|
||||
концов имеет расстояние до них хотя бы 1, причем равенство достигается только в точке $B$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{definition}
|
||||
Рассмотрим следующую конструкцию. Есть единичная сетка, и на ней отмечен квадрат с $n$ вершинами на стороне и все узлы сетки внутри него. Также от каждого единичного отрезка сетки внутри квадрата в обе стороны отложен равносторонний треугольник. Назовём такой граф $G_{\text{sk}}(n)$.
|
||||
Рассмотрим следующую конструкцию. Есть единичная сетка, и на ней отмечен квадрат с $n$ вершинами на стороне и
|
||||
все узлы сетки внутри него. Также от каждого единичного отрезка сетки внутри квадрата в обе стороны отложен
|
||||
равносторонний треугольник. Назовём такой граф $G_{\text{sk}}(n)$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{figure}[!ht]
|
||||
@ -317,7 +351,8 @@
|
||||
|
||||
\end{asy}
|
||||
\end{center}
|
||||
\caption{$G_{\text{sk}}(3)$ без ребер между вершинами равносторонних треугольников, построенных в одну и ту же сторону внутри соседних квадратов}
|
||||
\caption{$G_{\text{sk}}(3)$ без ребер между вершинами равносторонних треугольников, построенных в одну и ту же сторону
|
||||
внутри соседних квадратов}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
@ -329,39 +364,55 @@
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Рассмотрим $G_{\text{sk}}(4)$. По лемме 2.1 у него 64 вершины и 188 рёбер, что противоречит неравенству $E <= 3V - 6$, которое выполнено для всех планарных графов.
|
||||
Рассмотрим $G_{\text{sk}}(4)$. По лемме 2.1 у него 64 вершины и 188 рёбер, что противоречит неравенству $E <= 3V -
|
||||
6$, которое выполнено для всех планарных графов.
|
||||
|
||||
Рассмотрим $K_4$. Он не дистанционный, но планарный.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Пусть в графе $G = (V, E)$ на плоскости $4n$ вершин, а $\alpha(G) <= n$. Докажите, что когда граф $G$ дистанционный имеет место более сильная оценка $|E| >= 7n$. Воспользуйтесь результатом задачи 7.
|
||||
Пусть в графе $G = (V, E)$ на плоскости $4n$ вершин, а $\alpha(G) <= n$. Докажите, что когда граф $G$ дистанционный
|
||||
имеет место более сильная оценка $|E| >= 7n$. Воспользуйтесь результатом задачи 7.
|
||||
\end{problem}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
При удалении вершины и всех её соседей число независимости строго уменьшается.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
В исходном графе любое максимальное независимое множество содержало либо вершину либо хотя бы одного соседа, значит после удаления, все максимальные независимые множества потеряют хотя бы одну вершину.
|
||||
В исходном графе любое максимальное независимое множество содержало либо вершину либо хотя бы одного соседа, значит
|
||||
после удаления, все максимальные независимые множества потеряют хотя бы одну вершину.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Будем действовать по индукции.
|
||||
|
||||
\textit{База.} Для $n = 1$ очевидно.
|
||||
|
||||
\textit{Переход.} Попробуем удалить четыре вершины, уменьшив размер максимального независимого множества, удалив не менее 7 рёбер. Обозначим за $d$ минимальную степень вершины. Если $d >= 4$, то в $G$ суммарно хотя бы $8n$ рёбер. Если $d <= 2$, то удалив вершину и ее соседей, по теореме Брукса в оставшемся графе $\Delta(G) >= \chi(G) >= \frac{4n - d - 1}{n - 1} > 4$, откуда в графе останется вершина степени хотя бы 5. Удалим её тоже. При $d = 2$ мы удалим хотя бы 8 рёбер. В случае $d = 1$ мы можем удалить ещё одну вершину, и тогда мы удалим хотя бы 7 рёбер, в случае $d = 0$ можно найти ещё две неизолированные вершины, которым инцидентно хотя бы два ребра, и удалить их.
|
||||
\textit{Переход.} Попробуем удалить четыре вершины, уменьшив размер максимального независимого множества, удалив не
|
||||
менее 7 рёбер. Обозначим за $d$ минимальную степень вершины. Если $d >= 4$, то в $G$ суммарно хотя бы $8n$ рёбер.
|
||||
Если $d <= 2$, то удалив вершину и ее соседей, по теореме Брукса в оставшемся графе $\Delta(G) >= \chi(G) >=
|
||||
\frac{4n - d - 1}{n - 1} > 4$, откуда в графе останется вершина степени хотя бы 5. Удалим её тоже. При $d = 2$ мы
|
||||
удалим хотя бы 8 рёбер. В случае $d = 1$ мы можем удалить ещё одну вершину, и тогда мы удалим хотя бы 7 рёбер, в
|
||||
случае $d = 0$ можно найти ещё две неизолированные вершины, которым инцидентно хотя бы два ребра, и удалить их.
|
||||
|
||||
Осталось разобрать случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени три. У неё найдется два соседа $u, w$ не соединенные ребром, в силу отсутствия $K_4$. Тогда им инцидентно хотя бы четыре ребра, не инцидентные $v$. Тогда удалив $v$ и всех соседей, мы удалим хотя бы 7 рёбер, что и требовалось.
|
||||
Осталось разобрать случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени три. У неё найдется два соседа $u, w$ не
|
||||
соединенные ребром, в силу отсутствия $K_4$. Тогда им инцидентно хотя бы четыре ребра, не инцидентные $v$. Тогда
|
||||
удалив $v$ и всех соседей, мы удалим хотя бы 7 рёбер, что и требовалось.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что если у графа $G = (V, E)$ (не обязательно дистанционного) $4n$ вершин, $\alpha(G) <= n$, $\omega(G) <= 3$ и \textit{минимальная} степень вершины не превосходит трёх, то из графа можно удалить не более четырёх вершин, чтобы уменьшить число независимости и избавиться хотя бы от восьми рёбер.
|
||||
Докажите, что если у графа $G = (V, E)$ (не обязательно дистанционного) $4n$ вершин, $\alpha(G) <= n$,
|
||||
$\omega(G) <= 3$ и \textit{минимальная} степень вершины не превосходит трёх, то из графа можно удалить не более
|
||||
четырёх вершин, чтобы уменьшить число независимости и избавиться хотя бы от восьми рёбер.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Аккуратно рассмотрим переход из решения прошлой задачи. Осталось рассмотреть случай $d = 3$. Рассмотрим вершину $v$ степени $d$.
|
||||
Аккуратно рассмотрим переход из решения прошлой задачи. Осталось рассмотреть случай $d = 3$.
|
||||
Рассмотрим вершину $v$ степени $d$.
|
||||
|
||||
Пусть среди соседей $v$ отсутствует хотя бы два ребра между ними. Тогда суммарно им инцидентно хотя бы 8 рёбер, поэтому по лемме 2.2 мы можем удалить её с соседями, уменьшив число независимости.
|
||||
Пусть среди соседей $v$ отсутствует хотя бы два ребра между ними. Тогда суммарно им инцидентно хотя бы 8 рёбер,
|
||||
поэтому по лемме 2.2 мы можем удалить её с соседями, уменьшив число независимости.
|
||||
|
||||
|
||||
Иначе, между соседями нет ровно одного ребра в силу отсутствия $K_4$. Пусть суммарно им инцидентно менее 8 рёбер. Обозначим его концы $u$ и $w$, а оставшегося соседа $t$. Заметим, что из $t$ нет рёбер во вне по предположению. Рассмотрим единственную(поскольку $d = 3$) вершину $x$ не из уже отмеченных, инцидентных $u$.
|
||||
Иначе, между соседями нет ровно одного ребра в силу отсутствия $K_4$. Пусть суммарно им инцидентно менее 8 рёбер.
|
||||
Обозначим его концы $u$ и $w$, а оставшегося соседа $t$. Заметим, что из $t$ нет рёбер во вне по предположению.
|
||||
Рассмотрим единственную(поскольку $d = 3$) вершину $x$ не из уже отмеченных, инцидентных $u$.
|
||||
\begin{center}
|
||||
|
||||
\begin{asy}
|
||||
@ -396,17 +447,20 @@
|
||||
\end{asy}
|
||||
\end{center}
|
||||
|
||||
Тогда рассмотрим вершину $u$ и ее соседей. Рёбер $x \rightarrow v, x \rightarrow t$ нет в графе, значит рассмотрев вершину $u$ вместо вершины $v$ можно свести всё к предыдущему случаю.
|
||||
Тогда рассмотрим вершину $u$ и ее соседей. Рёбер $x \rightarrow v, x \rightarrow t$ нет в графе, значит рассмотрев
|
||||
вершину $u$ вместо вершины $v$ можно свести всё к предыдущему случаю.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
С помощью индукции выведите из задачи 12 оценку $|E| >= 8n$ в условиях задачи 11.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Пусть минимальная степень вершины хотя бы 4, тогда суммарно хотя бы $8n$ рёбер, значит можно считать, что на каждом шаге индукции она не больше трёх.
|
||||
Пусть минимальная степень вершины хотя бы 4, тогда суммарно хотя бы $8n$ рёбер, значит можно считать, что на каждом
|
||||
шаге индукции она не больше трёх.
|
||||
|
||||
\textit{База.} Для $n = 0, 1, 2$ очевидно.
|
||||
|
||||
\textit{Переход}. Применим задачу 12, сведя всё к случаю для $n - 1$. Поскольку мы удалили хотя бы 8 рёбер, сложив оценки, получим требуемое.
|
||||
\textit{Переход}. Применим задачу 12, сведя всё к случаю для $n - 1$. Поскольку мы удалили хотя бы 8 рёбер, сложив
|
||||
оценки, получим требуемое.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что для графов на $4n$ вершинах, где $\alpha(G) <= n, \omega(G) <= 3$ оценка $|E| >= 8n$ неулучшаема.
|
||||
@ -443,10 +497,12 @@
|
||||
|
||||
Заметим, что в нём 16 рёбер, и его число независимости равно двум. Рассмотрим $k$ копий такого графа.
|
||||
|
||||
Получится граф на $4 \cdot 2k$ вершинах, с числом независимости $2k$ и $8 \cdot 2k$ ребрами, причем такой граф не содержит $K_4$. Значит наша оценка не улучшаема, что и требуется.
|
||||
Получится граф на $4 \cdot 2k$ вершинах, с числом независимости $2k$ и $8 \cdot 2k$ ребрами, причем такой граф не
|
||||
содержит $K_4$. Значит наша оценка не улучшаема, что и требуется.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
С помощью результатов задач 7-9 докажите, что если у дистанционного графа на плоскости $4n$ вершин и $\alpha(G) <= n$, то $|E| >= \frac{26}{3}n$.
|
||||
С помощью результатов задач 7-9 докажите, что если у дистанционного графа на плоскости $4n$ вершин и $\alpha(G) <=
|
||||
n$, то $|E| >= \frac{26}{3}n$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Улучшите оценку задачи 15.
|
||||
@ -458,13 +514,20 @@
|
||||
Найдите число рёбер в графе $G(n, 3, 1)$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Разобьем все рёбра на группы по соединяющему элементу. Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $2! = 2$. Выберем соединяющий элемент ($C_n^1$ способами). Потом выберем по два оставшихся элемента для первого и второго множеств в соединённых вершинах ($C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2$ способами). Итого $\frac{1}{2} \cdot C_n^1 \cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 = 15 \cdot C_{n}^5$ рёбер.
|
||||
Разобьем все рёбра на группы по соединяющему элементу. Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на 2. Выберем соединяющий элемент ($C_n^1$ способами). Потом выберем по два оставшихся элемента для первого и второго
|
||||
множеств в соединённых вершинах ($C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2$ способами). Итого $\frac{1}{2} \cdot C_n^1 \cdot
|
||||
C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 = 15 \cdot C_{n}^5$ рёбер.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Найдите число треугольников в графе $G(n, 3, 1)$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $3! = 6$. Рассмотрим все возможные варианты количества различных элементов среди соединяющих элементов рёбер в треугольнике. Если различных элементов $3$, то таких треугольников существует ровно $C_n^3 \cdot C_{n - 1}^1 \cdot C_{n - 2}^1 \cdot C_{n - 3}^1 \cdot C_{n - 4}^1 \cdot C_{n - 5}^1 = C_n^5 \cdot 5!$. Если различных элементов $2$, то такого случая не существует, т.к. тогда все три множества имеют общий элемент. Если всего различных элементов $1$, то таких треугольнико существует ровно $C_n^1 \cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 \cdot C_{n - 5}^2 = C_n^6 \cdot \frac{6!}{8}$.
|
||||
Зафиксируем порядок вершин, а в конце поделим ответ на $3! = 6$. Рассмотрим все возможные варианты количества
|
||||
различных элементов среди соединяющих элементов рёбер в треугольнике. Если различных элементов 3, то таких
|
||||
треугольников существует ровно $C_n^3 \cdot C_{n - 1}^1 \cdot C_{n - 2}^1 \cdot C_{n - 3}^1 \cdot C_{n - 4}^1 \cdot
|
||||
C_{n - 5}^1 = C_n^5 \cdot 5!$. Если различных элементов $2$, то такого случая не существует, т.к. тогда все три
|
||||
множества имеют общий элемент. Если всего различных элементов $1$, то таких треугольнико существует ровно $C_n^1
|
||||
\cdot C_{n - 1}^2 \cdot C_{n - 3}^2 \cdot C_{n - 5}^2 = C_n^6 \cdot \frac{6!}{8}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что $\alpha(G(n, 3, 1)) = n, n - 1, n - 2$ в зависимости от остатка при делении на 4.
|
||||
@ -472,31 +535,55 @@
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Рассмотрим граф $G^\prime$, в котором есть ребро между двумя множествами, если они пересекаются по 2 элементам.
|
||||
|
||||
Посмотрим на независимое в множество $G$. Пусть в $G^\prime$ есть ребра $uv$ и $uw$. Тогда если вершины $u, v, w$ образуют независимое множество в $G$, то в $G^\prime$ есть ребро $vw$, так как множества $v, w$ пересекутся по хотя бы одному элементу.
|
||||
Посмотрим на независимое в множество $G$. Пусть в $G^\prime$ есть ребра $uv$ и $uw$. Тогда если вершины $u, v, w$
|
||||
образуют независимое множество в $G$, то в $G^\prime$ есть ребро $vw$, так как множества $v, w$ пересекутся по хотя
|
||||
бы одному элементу.
|
||||
|
||||
Значит если рассмотреть независимое множество $I \subset G$, то соответствующий ему подграф $I^\prime \subset G^\prime$, то в нём все компоненты связности будут кликами. Поскольку $I$ -- независимое множество, а ребер в $G^\prime$ между кликами нет, то любые два множества из разных клик не пересекаются, значит множества элементов клик не пересекаются.
|
||||
Значит если рассмотреть независимое множество $I \subset G$, то соответствующий ему подграф $I^\prime \subset
|
||||
G^\prime$, то в нём все компоненты связности будут кликами. Поскольку $I$ -- независимое множество, а ребер в
|
||||
$G^\prime$ между кликами нет, то любые два множества из разных клик не пересекаются, значит множества элементов клик
|
||||
не пересекаются.
|
||||
|
||||
Посмотрим, сколько вершин может быть в клике в $G^\prime$, где всего $k$ элементов множества. Пусть есть ребра $uv, uw$, причём соответстующие множества пересекаются по одинаковой паре элементов. Тогда все вершины в клике пересекаются по этой паре элементов.
|
||||
Посмотрим, сколько вершин может быть в клике в $G^\prime$, где всего $k$ элементов множества. Пусть есть ребра $uv,
|
||||
uw$, причём соответстующие множества пересекаются по одинаковой паре элементов. Тогда все вершины в клике
|
||||
пересекаются по этой паре элементов.
|
||||
|
||||
Значит либо размер клики не превосходит 5, либо в ней не более $k - 2$ вершин, поскольку все множества пересекаются по одинаковым элементам. При $k = 4$ в ней может быть не более $k$ вершин(все $C^3_4$ вершин), при $k = 5$ не более $k - 1$ вершин.
|
||||
Значит либо размер клики не превосходит 5, либо в ней не более $k - 2$ вершин, поскольку все множества пересекаются
|
||||
по одинаковым элементам. При $k = 4$ в ней может быть не более $k$ вершин(все $C^3_4$ вершин), при $k = 5$ не более
|
||||
$k - 1$ вершин.
|
||||
|
||||
Размер независимого множества это сумма по всем кликам, причем из рассуждений выше, видно, что она не превосходит $n$. При $n = 4k, 4k + 1$, рассматриваем все трехэлементные подмножества множеств вида $\{4i + 1, 4i + 2, 4i + 3, 4i + 4\}$, получая $n$ или $n - 1$. При $n = 4k + 2, 4k + 3$ рассмотрим множества вида $\{1, 2, i\}$ и получим $n - 2$ элемента в независимом множестве. Из рассуждений выше данный ответ оптимален.
|
||||
Размер независимого множества это сумма по всем кликам, причем из рассуждений выше, видно, что она не превосходит
|
||||
$n$. При $n = 4k, 4k + 1$, рассматриваем все трехэлементные подмножества множеств вида $\{4i + 1, 4i + 2, 4i + 3, 4i
|
||||
+ 4\}$, получая $n$ или $n - 1$. При $n = 4k + 2, 4k + 3$ рассмотрим множества вида $\{1, 2, i\}$ и получим $n - 2$
|
||||
элемента в независимом множестве. Из рассуждений выше данный ответ оптимален.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Найдите $w(G(n, 3, 1))$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Раскрасим ребра между вершинами в цвета соответстующие номеру совпадающего элемента. Пусть есть треугольник. Заметим, что если в нем есть два одноцветных ребра, то третье ребро будет такого же цвета. Значит в нашем графе все треугольники либо одноцветны либо разноцветны.
|
||||
Раскрасим ребра между вершинами в цвета соответстующие номеру совпадающего элемента. Пусть есть треугольник.
|
||||
Заметим, что если в нем есть два одноцветных ребра, то третье ребро будет такого же цвета. Значит в нашем графе все
|
||||
треугольники либо одноцветны либо разноцветны.
|
||||
|
||||
В частности, данное условие означает, что если одна вершина в клике достижима из другой вершины по ребрам одного цвета, то между ними есть ребро этого цвета. Это значит, что все компоненты связности по одному цвету являются кликами этого цвета.
|
||||
В частности, данное условие означает, что если одна вершина в клике достижима из другой вершины по ребрам одного
|
||||
цвета, то между ними есть ребро этого цвета. Это значит, что все компоненты связности по одному цвету являются
|
||||
кликами этого цвета.
|
||||
|
||||
Также если рассмотреть два ребра одного цвета в клике, то это означает, что вершины инцидентные им содержат соответствующий элемент, а значит соединены ребром этого цвета между собой. То есть в клике всего одна компонента связности по каждому цвету, которого есть хотя бы два ребра.
|
||||
Также если рассмотреть два ребра одного цвета в клике, то это означает, что вершины инцидентные им содержат
|
||||
соответствующий элемент, а значит соединены ребром этого цвета между собой. То есть в клике всего одна компонента
|
||||
связности по каждому цвету, которого есть хотя бы два ребра.
|
||||
|
||||
Посмотрим как выглядит клика одного цвета $c$ размера $w$. Это множества вида $\{c, a_i, b_i\}$, причём все $a_i, b_i$ различны. Пусть есть вершина соединенная со всеми в данной клике. Тогда из неё идет $w$ рёбер разного цвета, значит $w <= 3$, так как из каждой вершины ведут ребра трех цветов. Значит максимальная клика либо состоит из клик размера не более 3, либо из одной клики.
|
||||
Посмотрим как выглядит клика одного цвета $c$ размера $w$. Это множества вида $\{c, a_i, b_i\}$, причём все $a_i,
|
||||
b_i$ различны. Пусть есть вершина соединенная со всеми в данной клике. Тогда из неё идет $w$ рёбер разного цвета,
|
||||
значит $w <= 3$, так как из каждой вершины ведут ребра трех цветов. Значит максимальная клика либо состоит из клик
|
||||
размера не более 3, либо из одной клики.
|
||||
|
||||
Во втором случае максимальная клика получается размера $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$, а во втором случае в ней не более $3n$ рёбер, значит размер максимальной клики равен $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$ начиная с некоторого $n$.
|
||||
Во втором случае максимальная клика получается размера $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$, а во втором случае в ней не
|
||||
более $3n$ рёбер, значит размер максимальной клики равен $\left[ \frac{n - 1}{2} \right]$ начиная с некоторого $n$.
|
||||
|
||||
Подробнее рассмотрим второй случай. Пусть есть треугольник. Тогда каждая вершина соединена со всеми его вершинами, а значит всего цветов ребер в такой клике не более 7. Тогда в ней не более 21 ребра, а значит её размер не превосходит 7. Пример такой клики:
|
||||
Подробнее рассмотрим второй случай. Пусть есть треугольник. Тогда каждая вершина соединена со всеми его вершинами, а
|
||||
значит всего цветов ребер в такой клике не более 7. Тогда в ней не более 21 ребра, а значит её размер не превосходит
|
||||
7. Пример такой клики:
|
||||
$$\{\{1, 2, 3\} \{1, 4, 5\} \{1, 6, 7\} \{2, 4, 6\} \{2, 5, 7\} \{3, 4, 7\} \{3, 5, 6\} \}$$
|
||||
|
||||
Значит ответ такой
|
||||
@ -514,7 +601,9 @@
|
||||
Докажите, что если $n = 2^k$, то $\chi(G) = \frac{|V|}{\alpha(G)} = \frac{(n - 1)\cdot(n - 2)}{2}$
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$ (Для каждого $n$ рассматривается своё $W_n$). Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$.
|
||||
Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$ (Для каждого $n$ рассматривается своё
|
||||
$W_n$). Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow
|
||||
\infty$.
|
||||
Докажите, что обычная теорема Турана гарантирует тогда, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f$ - некоторая функция,
|
||||
асимптотически равная величине $\frac{ |W_n|^2}{2\alpha(G(n, 3, 1))} \sim \frac{ |W_n|^2}{2n}$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
@ -523,40 +612,63 @@
|
||||
|
||||
Запишем теорему Турана для $W_n$.
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
r(W_n) >= |W_n| \cdot \left[ \frac{|W_n|}{k}\right] - k \cdot \frac{\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] \cdot \left(\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] + 1\right)}{2} \sim \\
|
||||
\sim |W_n| \cdot \frac{|W_n|}{n} - |W_n| \cdot \frac{\left(\frac{|W_n|}{n} + 1\right)}{2} \sim \frac{|W_n|^2}{n} - \frac{|W_n|^2}{2n} = \frac{|W_n|^2}{2n}
|
||||
r(W_n) >= |W_n| \cdot \left[ \frac{|W_n|}{k}\right] - k \cdot \frac{\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] \cdot
|
||||
\left(\left[ \frac{|W_n|}{k}\right] + 1\right)}{2} \sim \\
|
||||
\sim |W_n| \cdot \frac{|W_n|}{n} - |W_n| \cdot \frac{\left(\frac{|W_n|}{n} + 1\right)}{2} \sim \frac{|W_n|^2}{n}
|
||||
- \frac{|W_n|^2}{2n} = \frac{|W_n|^2}{2n}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что граф $G(n, 3, 1)$ изоморфен следующему графу $H$ в $\mathbb{R}^n$.
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
V = \{\textbf{x} = (x_1, \ldots , x_n): x_i \in \{0, 1\}, x_1 + \ldots + x_n = 3\}, E = \{\{\textbf{x}, \textbf{y}\}: (\textbf{x}, \textbf{y}) = 1\}.
|
||||
V = \{\textbf{x} = (x_1, \ldots , x_n): x_i \in \{0, 1\}, x_1 + \ldots + x_n = 3\}, E = \{\{\textbf{x},
|
||||
\textbf{y}\}: (\textbf{x}, \textbf{y}) = 1\}.
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Проведем биекцию между двумя множествами графов, сохранив отношение инцидентности. Пронумеруем элементы множествах в вершинах $G(n, 3, 1)$ от $1$ до $n$. Каждой вершине $v$ из $G(n, 3, 1)$ сопоставим вектор $v^\prime$ в котором координаты с соответствующие номерам элементов из $v$ равны $1$, а остальные координаты равны $0$. Заметим, что $v^\prime \in H$. Теперь рассмотрим любую вершину $w$ инцидентную $v$. Заметим, что $w^\prime$ - вершина, сопоставленная $w$ в $H$ будет инцидентна $v^\prime$. И никакие другие вершины не будут инцидентны $v^\prime$.
|
||||
Проведем биекцию между двумя множествами графов, сохранив отношение инцидентности. Пронумеруем элементы множествах в
|
||||
вершинах $G(n, 3, 1)$ от $1$ до $n$. Каждой вершине $v$ из $G(n, 3, 1)$ сопоставим вектор $v^\prime$ в котором
|
||||
координаты с соответствующие номерам элементов из $v$ равны $1$, а остальные координаты равны $0$. Заметим, что
|
||||
$v^\prime \in H$. Теперь рассмотрим любую вершину $w$ инцидентную $v$. Заметим, что $w^\prime$ - вершина,
|
||||
сопоставленная $w$ в $H$ будет инцидентна $v^\prime$. И никакие другие вершины не будут инцидентны $v^\prime$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Пусть $K_{l_1, \ldots, l_r}$ - полный $r$ - дольный граф с размерами долей $l_1, \ldots, l_r$. Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ не содержит в качестве подграфа граф $K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n}{2}\right] + 1$.
|
||||
Пусть $K_{l_1, \ldots, l_r}$ - полный $r$ - дольный граф с размерами долей $l_1, \ldots, l_r$. Докажите, что в
|
||||
$\mathbb{R}^n$ не содержит в качестве подграфа граф $K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n}{2}\right] + 1$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Докажем утверждение по индукции.
|
||||
|
||||
\textit{База.} Для $n = 2$, на плоскости не существует графа $K_{3, 3}$.
|
||||
|
||||
\textit{Переход.} Пусть утверждение доказано для всех размерностей пространства, не превосходящих $n$. Докажем утвердение для $\mathbb{R}^{n + 1}$ от противного. Пусть в $\mathbb{R}^n$ существует полный граф $G = K_{3, \ldots, 3}$ c числом долей $\left[\frac{n + 1}{2}\right] + 1$. Рассмотрим первую долю $G$. Тогда все остальные вершины лежат в подпространстве проходящем через центр описанной окружности треугольника образованного тремя вершинами первой доли, и перпендикулярном плоскости, проходящей через 3 вершины этой доли. Это подпространство имеет размерность $n - 2$, значит для него выполняется предположение индукции, значит там не существует графа $K_{3, \ldots, 3}$ с количеством долей $\left[\frac{n - 2}{2}\right] + 1 = \left[\frac{n}{2}\right]$. Противоречие.
|
||||
\textit{Переход.} Пусть утверждение доказано для всех размерностей пространства, не превосходящих $n$. Докажем
|
||||
утвердение для $\mathbb{R}^{n + 1}$ от противного. Пусть в $\mathbb{R}^n$ существует полный граф $G = K_{3, \ldots,
|
||||
3}$ c числом долей $\left[\frac{n + 1}{2}\right] + 1$. Рассмотрим первую долю $G$. Тогда все остальные вершины
|
||||
лежат в подпространстве проходящем через центр описанной окружности треугольника образованного тремя вершинами
|
||||
первой доли, и перпендикулярном плоскости, проходящей через 3 вершины этой доли. Это подпространство имеет
|
||||
размерность $n - 2$, значит для него выполняется предположение индукции, значит там не существует графа $K_{3,
|
||||
\ldots, 3}$ с количеством долей $\left[\frac{n - 2}{2}\right] + 1 = \left[\frac{n}{2}\right]$. Противоречие.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Докажите, что если в условиях задачи 22 дополнительно потребовать выполнение условия $|W_n| = o(n^2)$, то оценка из задачи 22 (т.е. обычная турановская оценка) асимптотически неулучшаема.
|
||||
Докажите, что если в условиях задачи 22 дополнительно потребовать выполнение условия $|W_n| = o(n^2)$, то оценка из
|
||||
задачи 22 (т.е. обычная турановская оценка) асимптотически неулучшаема.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Пусть в нашем подграфе есть $f(n)$ непересекающихся независимых множеств размера $n$. Тогда если $nf(n) = o(n^2)$ и $n = o(nf(n))$, то мы нашли искомый пример.
|
||||
Пусть в нашем подграфе есть $f(n)$ непересекающихся независимых множеств размера $n$. Тогда если $nf(n) = o(n^2)$ и
|
||||
$n = o(nf(n))$, то мы нашли искомый пример.
|
||||
|
||||
Решим задачу для $n = 2^k$, где $f(n) = k - 2 \sim \log n$. Будем предъявлять каждое независимое множество, как разбиение $\{1, \ldots n\}$ на непересекающиеся четверки, вершины множества -- все трехэлементные подмножества четверок.
|
||||
Решим задачу для $n = 2^k$, где $f(n) = k - 2 \sim \log n$. Будем предъявлять каждое независимое множество, как
|
||||
разбиение $\{1, \ldots n\}$ на непересекающиеся четверки, вершины множества -- все трехэлементные подмножества
|
||||
четверок.
|
||||
|
||||
Построим $i$-ое независимое множество. Разобъём $2^{i + 2}$ элементов на непересекающиеся четверки. Поскольку $2^{i + 2} \mid n = 2^k$, мы сможем разбить все $n$ элементов. Искомое разбиение $\{0, \ldots 2^{i + 2} - 1\}$ на четверки: $$S = \{(j, j + 2^i, j + 2 \cdot 2^i, j + 3 \cdot 2^i) \mid j \leftarrow \{0, \ldots, 2^i - 1\}\}$$
|
||||
Построим $i$-ое независимое множество. Разобъём $2^{i + 2}$ элементов на непересекающиеся четверки. Поскольку $2^{i
|
||||
+ 2} \mid n = 2^k$, мы сможем разбить все $n$ элементов. Искомое разбиение $\{0, \ldots 2^{i + 2} - 1\}$ на
|
||||
четверки: $$S = \{(j, j + 2^i, j + 2 \cdot 2^i, j + 3 \cdot 2^i) \mid j \leftarrow \{0, \ldots, 2^i - 1\}\}$$
|
||||
|
||||
Докажем, что независимые множества не пересекаются по элементам. По построению в $i$-ом множестве разница элементов в четверках $2^i$. Для тройки $(a, b, c)$ определим разностную пару как $(b - a, c - b)$. В $i$-ом множестве разностные пары бывают $(2^i, 2^i)$, $(2^{i + 1}, 2^i)$, $(2^i, 2^{i + 1})$. Разностные пары разных множеств не пересекаются, значит совпадающих троек не существует.
|
||||
Докажем, что независимые множества не пересекаются по элементам. По построению в $i$-ом множестве разница элементов
|
||||
в четверках $2^i$. Для тройки $(a, b, c)$ определим разностную пару как $(b - a, c - b)$. В $i$-ом множестве
|
||||
разностные пары бывают $(2^i, 2^i)$, $(2^{i + 1}, 2^i)$, $(2^i, 2^{i + 1})$. Разностные пары разных множеств не
|
||||
пересекаются, значит совпадающих троек не существует.
|
||||
|
||||
|
||||
\end{solution}
|
||||
@ -564,13 +676,19 @@
|
||||
Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ существует $n + 1$ точек на расстоянии 1 друг от друга.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Будем доказывать индукцией по $n$ более сильное утверждение, а именно существование $n + 1$ таких точек и равноудаленной от них.
|
||||
Будем доказывать индукцией по $n$ более сильное утверждение, а именно существование $n + 1$ таких точек и
|
||||
равноудаленной от них.
|
||||
|
||||
\textit{База.} В $\mathbb{R}^2$ существует правильный треугольник и центр его описанной окружности.
|
||||
|
||||
\textit{Переход.} Пусть есть пример для $\mathbb{R}^{n - 1}$. Расположим точки $A_1, \ldots A_{n - 1}$ и равноудалённую от них $O$ в $\mathbb{R}^n$, сделав их последние координаты равные нулю. Пусть квадрат расстояния от $O$ до $A_i$ равен $d$, $x^2 = 1 - d$. Рассмотрим точку $A_n = O + (0, \ldots, 0, x)$. Она удалена от всех вершин симплекса на расстояние 1, значит множество $\{A_1, \ldots, A_n \}$ требуемое. Осталось найти для него точку, равноудалённую от всех вершин.
|
||||
\textit{Переход.} Пусть есть пример для $\mathbb{R}^{n - 1}$. Расположим точки $A_1, \ldots A_{n - 1}$ и
|
||||
равноудалённую от них $O$ в $\mathbb{R}^n$, сделав их последние координаты равные нулю. Пусть квадрат расстояния от
|
||||
$O$ до $A_i$ равен $d$, $x^2 = 1 - d$. Рассмотрим точку $A_n = O + (0, \ldots, 0, x)$. Она удалена от всех вершин
|
||||
симплекса на расстояние 1, значит множество $\{A_1, \ldots, A_n \}$ требуемое. Осталось найти для него точку,
|
||||
равноудалённую от всех вершин.
|
||||
|
||||
Пусть $f(y)$ -- квадрат расстояния от точки $O + (0, \ldots, y)$ до $A_1$, а $g(y)$ -- до $A_n$. $f(y) = d + y^2, g(y) = (x - y)^2$.
|
||||
Пусть $f(y)$ -- квадрат расстояния от точки $O + (0, \ldots, y)$ до $A_1$, а $g(y)$ -- до $A_n$. $f(y) = d + y^2,
|
||||
g(y) = (x - y)^2$.
|
||||
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
f(y) - g(y) = d + y^2 - x^2 - y^2 + 2yx = 2yx + d - x^2
|
||||
@ -584,71 +702,105 @@
|
||||
Докажите, что в $\mathbb{R}^n$ не существует $n + 2$ точек на расстоянии 1 друг от друга.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Заметим, что в $\mathbb{R}^2$ существует единственный правильный симплекс с точностью для движения. Далее по индукции можно доказать, что в $\mathbb{R}^n$ существует всего один правильный симплекс.
|
||||
Заметим, что в $\mathbb{R}^2$ существует единственный правильный симплекс с точностью для движения. Далее по
|
||||
индукции можно доказать, что в $\mathbb{R}^n$ существует всего один правильный симплекс.
|
||||
|
||||
Действительно, удалим вершину, тогда оставшиеся лежат в гиперплоскости, и из построения следует, что всего двумя способами можно добавить $n + 1$-ую вершину к симплексу из $\mathbb{R}^{n - 1}$.
|
||||
Действительно, удалим вершину, тогда оставшиеся лежат в гиперплоскости, и из построения следует, что всего двумя
|
||||
способами можно добавить $n + 1$-ую вершину к симплексу из $\mathbb{R}^{n - 1}$.
|
||||
|
||||
Пусть существует $n + 2$ точки на расстоянии 1 друг от друга. Тогда $n + 1$ из них образуют правильный симплекс, а $n + 2$-ая равноудалена от них. Из построения следует, что равноудалённая точка ровно одна, но расстояние от неё не равно 1. Противоречие.
|
||||
Пусть существует $n + 2$ точки на расстоянии 1 друг от друга. Тогда $n + 1$ из них образуют правильный симплекс, а
|
||||
$n + 2$-ая равноудалена от них. Из построения следует, что равноудалённая точка ровно одна, но расстояние от неё не
|
||||
равно 1. Противоречие.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Пусть $G_n = (V_n, E_n), n = 1, 2, \ldots$ - дистанционные графы в $\mathbb{R}^n$. Обозначим их числа независимости $\alpha_n$. Пусть $W_n$ - произвольный подграф $G_n$, а $r(W_n)$ - число рёбер внутри $W_n$. Пусть $n\alpha_n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f(n)$ - некоторая функция, асимптотически равная $\frac{|W_n|^2}{\alpha_n}$.
|
||||
Пусть $G_n = (V_n, E_n), n = 1, 2, \ldots$ - дистанционные графы в $\mathbb{R}^n$. Обозначим их числа независимости
|
||||
$\alpha_n$. Пусть $W_n$ - произвольный подграф $G_n$, а $r(W_n)$ - число рёбер внутри $W_n$. Пусть $n\alpha_n =
|
||||
o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f(n)$ - некоторая функция, асимптотически
|
||||
равная $\frac{|W_n|^2}{\alpha_n}$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Будем как в доказательстве теоремы Турана на каждом шаге удалять максимальное независимое множество, и смотреть сколько ребер в него вело.
|
||||
Будем как в доказательстве теоремы Турана на каждом шаге удалять максимальное независимое множество, и смотреть
|
||||
сколько ребер в него вело.
|
||||
|
||||
На $i$-ом шаге размер максимального независимого множества не превосходит $\alpha_n$, а вершин кроме него осталось хотя бы $|W_n| - i\alpha_n$.
|
||||
На $i$-ом шаге размер максимального независимого множества не превосходит $\alpha_n$, а вершин кроме него осталось
|
||||
хотя бы $|W_n| - i\alpha_n$.
|
||||
|
||||
Пусть среди оставшихся вершин хотя бы из $n\alpha_n$ исходит ровно одно ребро в независимое множество. Тогда какая-то вершина $v$ независимого множества соединена с хотя бы $n + 1$ вершиной оставшегося графа. Поскольку клик размера $n + 2$ нет, то среди этих вершин есть две $u, w$ не соединенные ребром. Удалим из независимого множества $v$ и добавим $u, w$. Оно останется независимым, и его размера увеличится.
|
||||
Пусть среди оставшихся вершин хотя бы из $n\alpha_n$ исходит ровно одно ребро в независимое множество. Тогда какая-
|
||||
то вершина $v$ независимого множества соединена с хотя бы $n + 1$ вершиной оставшегося графа. Поскольку клик размера
|
||||
$n + 2$ нет, то среди этих вершин есть две $u, w$ не соединенные ребром. Удалим из независимого множества $v$ и
|
||||
добавим $u, w$. Оно останется независимым, и его размера увеличится.
|
||||
|
||||
Значит есть не более $n\alpha_n$ вершин, из которых ведет ровно одно ребро в независимое множество. Значит на $i$-ом шаге мы удалим хотя бы $2(|W_n| - i\alpha_n - n\alpha_n) + n\alpha_n = 2(|W_n| - i\alpha_n) - n\alpha_n$ рёбер.
|
||||
Значит есть не более $n\alpha_n$ вершин, из которых ведет ровно одно ребро в независимое множество. Значит на $i$-ом
|
||||
шаге мы удалим хотя бы $2(|W_n| - i\alpha_n - n\alpha_n) + n\alpha_n = 2(|W_n| - i\alpha_n) - n\alpha_n$ рёбер.
|
||||
|
||||
Просуммируем количество удаленных ребер по всем шагам. Получим
|
||||
\begin{eqnarray*}
|
||||
2 \left(|W_n| \cdot \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] - \alpha_n \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] \cdot \left( \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] + 1 \right)}{2} \right) - \left[ \dfrac{|W_n|}{\alpha_n} \right] \cdot n\alpha_n \sim \\
|
||||
\sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o(|W_n|) \cdot \frac{ |W_n| }{\alpha_n} \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o\left(\dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n}\right) \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n}
|
||||
2 \left(|W_n| \cdot \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] - \alpha_n \cdot \dfrac{\left[ \dfrac{ |W_n|
|
||||
}{\alpha_n} \right] \cdot \left( \left[ \dfrac{ |W_n| }{\alpha_n} \right] + 1 \right)}{2} \right) - \left[
|
||||
\dfrac{|W_n|}{\alpha_n} \right] \cdot n\alpha_n \sim \\
|
||||
\sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} - o(|W_n|) \cdot \frac{ |W_n| }{\alpha_n} \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n} -
|
||||
o\left(\dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n}\right) \sim \dfrac{ |W_n|^2 }{\alpha_n}
|
||||
\end{eqnarray*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{problem}
|
||||
Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$. Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$.
|
||||
Пусть $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, 3, 1)$. Обозначим за $r(W_n)$ число рёбер, оба
|
||||
конца которых лежат в $W_n$. Пусть $n = o(|W_n|)$ при $n \rightarrow \infty$.
|
||||
Докажите, что $r(W_n) >= f(n)$, где $f$ - некоторая функция асимптотически равная $\frac{9}{2}\frac{ |W_n|^2}{n}$.
|
||||
\end{problem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Пусть $C_x$ -- количество множеств, содержащих $x$. Тогда $C_1 + \ldots + C_n = 3|W_n|$.
|
||||
|
||||
Тогда посчитаем количество пар пересекающихся множеств, содержащих элемент $x$. Оно асимптотически равно $\frac{C_x^2}{2}$. Оценим количество пар множеств, пересекающихся по двум элементам, содержащих $i$. Их не более, чем $2n$ на вершину. Тогда ребер у нас асимптотически хотя бы
|
||||
Тогда посчитаем количество пар пересекающихся множеств, содержащих элемент $x$. Оно асимптотически равно
|
||||
$\frac{C_x^2}{2}$. Оценим количество пар множеств, пересекающихся по двум элементам, содержащих $i$. Их не более,
|
||||
чем $2n$ на вершину. Тогда ребер у нас асимптотически хотя бы
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dfrac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2}{2} - n(C_1 + \ldots + C_n)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
Заметим, что $n(C_1 + \ldots + C_n) = 3|W_n|n = o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right)$. Также из неравенства о средних $$\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2 >= n \cdot \left(\frac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i}{n^2}\right)^2 = 9n$$
|
||||
Откуда рёбер асимптотически хотя бы $\frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n} - o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right) \sim \frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n}$.
|
||||
Заметим, что $n(C_1 + \ldots + C_n) = 3|W_n|n = o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right)$. Также из неравенства о средних
|
||||
$$\sum\limits_{i = 1}^n C_i^2 >= n \cdot \left(\frac{\sum\limits_{i = 1}^n C_i}{n^2}\right)^2 = 9n$$
|
||||
Откуда рёбер асимптотически хотя бы $\frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n} - o\left(\frac{|W_n|^2}{n}\right) \sim
|
||||
\frac{9}{2}\frac{|W_n|^2}{n}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{cproblem}{31}
|
||||
Найдите число ребер в графе $G(n, r, s)$.
|
||||
\end{cproblem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Заметим, что граф $G(n, r, s)$ регулярный. Поэтому для подсчета числа рёбер воспользуемся формулой $|E| = \frac{|V| \cdot k}{2}$, где $k$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, s)$. Для нашего графа эта формула превратится в: $|E| = \frac{C_n^r \cdot C_{n - r}^{r - s}}{2}$.
|
||||
Заметим, что граф $G(n, r, s)$ регулярный. Поэтому для подсчета числа рёбер воспользуемся формулой $|E| = \frac{|V|
|
||||
\cdot k}{2}$, где $k$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, s)$. Для нашего графа эта формула превратится в:
|
||||
$|E| = \frac{C_n^r \cdot C_{n - r}^{r - s}}{2}$.
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{cproblem}{32}
|
||||
Найдите число треугольников в графе $G(n, r, s)$.
|
||||
\end{cproblem}
|
||||
\begin{solution}{Решение}
|
||||
Зафиксируем $i$, число общих элементов на ребрах треугольника. Способов их выбрать ровно $C_n^i$. Зафиксируем порядок вершин треугольника. Тогда сначала нам надо выбрать $s - i$ элементов в попарные пересечения множеств, а потом $r - 2s + i$ элементов, которые ровно в одном множестве для каждого множества в фиксированном порядке. Способов выбрать элементы попарных пересечений $C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s + i}^{s - i}$, а уникальные элементы $C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}$, итого всего треугольников
|
||||
Зафиксируем $i$, число общих элементов на ребрах треугольника. Способов их выбрать ровно $C_n^i$. Зафиксируем
|
||||
порядок вершин треугольника. Тогда сначала нам надо выбрать $s - i$ элементов в попарные пересечения множеств, а
|
||||
потом $r - 2s + i$ элементов, которые ровно в одном множестве для каждого множества в фиксированном порядке.
|
||||
Способов выбрать элементы попарных пересечений $C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot
|
||||
C_{n - 2s + i}^{s - i}$, а уникальные элементы $C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i}
|
||||
\cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}$, итого всего треугольников
|
||||
\begin{figure*}[!ht]
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i = 0}^{s} C_n^i \left(C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s + i}^{s - i}\right) \left(C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r + s}^{r - 2s + i}\right)
|
||||
\dfrac{1}{6}\sum\limits_{i = 0}^{s} C_n^i \left(C_{n - i}^{s - i} \cdot C_{n - s}^{s - i} \cdot C_{n - 2s +
|
||||
i}^{s - i}\right) \left(C_{n - 3s + 2i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - r - s + i}^{r - 2s + i} \cdot C_{n - 2r +
|
||||
s}^{r - 2s + i}\right)
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\explanation{Если одно из чисел $n, k$ меньше нуля или $k > n$, то мы считаем $C_n^k = 0$ в данном случае.}
|
||||
\end{figure*}
|
||||
\end{solution}
|
||||
\begin{cproblem}{34}
|
||||
Докажите, что если $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, r, 0)$ и $l = |W_n| > \alpha(G(n, r, 0))$, то
|
||||
Докажите, что если $W_n$ - произвольное подмножество множества вершин графа $G(n, r, 0)$ и $l = |W_n| > \alpha(G(n,
|
||||
r, 0))$, то
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
r(W_n) >= \frac{l(l - (C_n^r - C_{n - r}^r))}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\end{cproblem}
|
||||
\begin{solution}{Доказательство}
|
||||
Посмотрим на $C_n^r$ и $C_{n - r}^r$ как на комбинаторные объекты. $C_n^r = |V(G(n, r, 0))|$. $C_{n - r}^r$ - степень каждой вершины в графе $G(n, r, 0)$. Тогда $C_n^r - C_{n - r}^r$ - число вершин, с которыми не смежна каждая вершина (включая саму себя).
|
||||
Теперь вернемся к графу $W_n$. В нём степень каждой вершины хотя бы $l - (C_n^r - C_{n - r}^r)$ (Общее число вершин минус максимальное число несмежных). Суммируя по всем $l$ вершинам, получаем:
|
||||
Посмотрим на $C_n^r$ и $C_{n - r}^r$ как на комбинаторные объекты. $C_n^r = |V(G(n, r, 0))|$. $C_{n - r}^r$ -
|
||||
степень каждой вершины в графе $G(n, r, 0)$. Тогда $C_n^r - C_{n - r}^r$ - число вершин, с которыми не смежна каждая
|
||||
вершина (включая саму себя).
|
||||
Теперь вернемся к графу $W_n$. В нём степень каждой вершины хотя бы $l - (C_n^r - C_{n - r}^r)$ (Общее число вершин
|
||||
минус максимальное число несмежных). Суммируя по всем $l$ вершинам, получаем:
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
r(W_n) >= \frac{l(l - (C_n^r - C_{n - r}^r))}{2}
|
||||
\end{equation*}
|
||||
|
||||
Loading…
Reference in New Issue
Block a user